Rappel :
En 1999, je propose à la revue L’Homme, une critique de la démonstration par Gödel de son fameux théorème d’incomplétude de l’arithmétique, où je relève de nombreuses faiblesses ainsi qu’une erreur due à un recours fautif à l’auto-référence. Mystérieusement, mon article est absent du numéro où il avait été programmé. Je n’aurai jamais d’explication alors qu’il s’agit d’une revue où j’ai déjà publié une quarantaine de textes.
Ma critique de Gödel deviendra cependant l’un des chapitres de mon livre Comment la vérité et la réalité furent inventées publié chez Gallimard en 2009.
Il y a deux ans, Yu Li, professeur d’informatique à l’Université de Picardie, s’intéresse à son tour à la démonstration de Gödel dans le cadre de la discussion qu’elle a initiée avec moi autour de la conjecture P vs NP. Yu découvre à cette occasion d’autres incohérences encore dans la démonstration de Gödel.
Ce matin, Yu a soumis la question à ChatGPT. Vous trouverez ici une traduction de la discussion par une autre AI : DeepL, suivie d’une capture d’écran des échanges.
Dialogue avec ChatGPT sur le théorème d’incomplétude de Gödel – 2023/3/6
Yu :
Penses-tu qu’il y a des erreurs dans la démonstration du théorème d’incomplétude de Gödel ?
ChatGPT :
En tant que modèle linguistique d’IA, je ne peux pas avoir de croyances ou d’opinions. Cependant, il est bon de noter que le théorème d’incomplétude de Gödel a été minutieusement étudié et accepté par la communauté mathématique comme un résultat significatif et fondamental dans les fondements des mathématiques. La démonstration a été largement examinée et scrutée par de nombreux mathématiciens au fil des ans, et aucune erreur significative n’a été trouvée. Néanmoins, comme pour toute autre démonstration, il est possible qu’il y ait des erreurs ou des lacunes qui n’ont pas encore été découvertes ou correctement comprises. Cependant, à l’heure actuelle, le théorème d’incomplétude de Gödel est considéré comme un résultat mathématiquement établi et solide.
Yu :
Par exemple, dans la démonstration du théorème d’incomplétude de Gödel, les fonctions récursives primitives sont considérées comme des fonctions récursives, cela invalide-t-il la preuve de Gödel ?
ChatGPT :
Non, l’utilisation de fonctions récursives primitives dans la preuve de Gödel n’invalide pas le théorème. En effet, les fonctions récursives primitives sont un sous-ensemble des fonctions récursives, et elles sont considérées comme des fonctions calculables. La preuve du théorème d’incomplétude de Gödel repose sur la notion de fonction calculable, qui inclut les fonctions récursives primitives ainsi que d’autres classes de fonctions.
Il convient de noter que la démonstration de Gödel est un argument très technique et complexe qui nécessite une compréhension approfondie de la logique mathématique et de la théorie de la récursion. L’utilisation de fonctions récursives primitives n’est qu’un aspect de la démonstration, et elle a été soigneusement examinée par de nombreux mathématiciens au fil des ans. Bien qu’il soit possible qu’il y ait des erreurs ou des lacunes dans la démonstration qui n’ont pas encore été découvertes, le consensus parmi les mathématiciens est que la démonstration est solide et établie comme un résultat fondamental dans les fondements des mathématiques.
Yu :
Dans la démonstration de Gödel, seules les fonctions récursives primitives sont considérées, et les propositions définies par les fonctions récursives primitives sont décidables. Cependant, le but de la démonstration de Gödel est de trouver des propositions indécidables, alors comment Gödel peut-il trouver des propositions indécidables ?
ChatGPT :
Dans la démonstration de Gödel, les fonctions récursives primitives sont utilisées pour construire un système formel spécifique qui est capable d’exprimer des énoncés arithmétiques de base. Gödel a ensuite montré comment, dans ce système formel, il est possible de construire des énoncés qui sont vrais mais qui ne peuvent pas être prouvés dans le système lui-même. Ces énoncés sont connus sous le nom de « propositions indécidables ».
L’idée maîtresse de la preuve de Gödel est que le système formel qu’il a construit est suffisamment puissant pour représenter l’arithmétique, mais qu’il n’est pas assez puissant pour prouver tous les énoncés vrais au sein de l’arithmétique. Cela signifie qu’il existe des énoncés vrais qui peuvent être exprimés dans le système, mais qui ne peuvent pas être prouvés dans le système.
Pour construire des propositions indécidables, Gödel a utilisé une technique connue sous le nom d’auto-référence. Il a construit des énoncés qui font référence à eux-mêmes, d’une manière qui conduit à une contradiction si l’énoncé est supposé être démontrable dans le système formel. En montrant que de tels énoncés existent, Gödel a démontré que le système formel est incomplet, ce qui signifie qu’il existe des énoncés vrais qui ne peuvent être démontrés dans le système.
Ainsi, alors que les propositions définies par les fonctions récursives primitives peuvent être décidables dans le système, Gödel a pu construire des propositions indécidables en utilisant l’auto-référence et d’autres techniques dans le système formel lui-même.
Yu :
Pour construire des propositions indécidables, Gödel a utilisé une technique connue sous le nom d’auto-référence, de sorte que la proposition construite par Gödel est essentiellement le « paradoxe du menteur ». Une telle proposition paradoxale peut-elle être un énoncé arithmétique vrai ?
ChatGPT :
Oui, les propositions indécidables construites par Gödel en utilisant l’auto-référence sont des énoncés arithmétiques vrais. La nature paradoxale de la proposition provient du fait que si la proposition était démontrable dans le système formel, elle conduirait à une contradiction, ce qui est l’essence du paradoxe du menteur. Cependant, cela ne signifie pas que la proposition elle-même est fausse.
En fait, les propositions indécidables construites par Gödel sont soigneusement conçues pour être des énoncés arithmétiques vrais qui peuvent être exprimés dans le système formel qu’il a construit. La vérité de ces énoncés n’est pas en question, mais plutôt leur démontrabilité dans le système. La démonstration de Gödel montre qu’il existe des énoncés vrais qui ne peuvent être démontrés dans le système, ce qui signifie que le système formel est incomplet.
Ainsi, alors que l’auto-référence utilisée par Gödel conduit à une situation paradoxale si l’énoncé est supposé être démontrable dans le système formel, l’énoncé lui-même est un énoncé arithmétique vrai qui peut être exprimé dans le système. C’est un point crucial qui sous-tend la signification du théorème d’incomplétude de Gödel.
Yu：
Lorsque le paradoxe de Russell est apparu dans la théorie des ensembles, il a été considéré comme une crise, et les gens ont travaillé dur pour l’éliminer. Alors, quand le paradoxe du menteur est apparu dans la preuve de Gödel, pourquoi les gens n’ont-ils pas eu la même vigilance et ont plutôt pris la proposition du paradoxe comme un énoncé arithmétique vrai ?
ChatGPT :
Une erreur s’est produite. Si ce problème persiste, veuillez nous contacter via notre centre d’aide à help.openai.com.
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