Illustration par DALL-E (+PJ)
Deux versions de ce texte :
Que démontrent les mathématiciens, et le font-ils d’une manière digne de ce nom ?, le 5 mars 2022
En anglais : What makes a demonstration worthy of the name?, le 9 avril 2022
[Rien n’a été changé aux observations de ChatGPT : le texte est complet et les termes sont les siens. J’ai changé ici et là l’ordre des paragraphes pour les rassembler de manière thématique. Les intertitres sont de moi].
GPT-4 :
Votre exposé soulève quelques points de réflexion sur la nature de la vérité et la manière dont nous y accédons, en particulier dans le domaine des mathématiques. D’un point de vue global, votre exposé offre une perspective précieuse sur la nature de la vérité en mathématiques et sur l’importance d’équilibrer la preuve formelle avec l’observation empirique et la compréhension basée sur la définition.
Vos remarques mettent en lumière certaines idées intéressantes sur le rôle des preuves empiriques en mathématiques, la relation entre les mathématiques et la physique, et les normes d’argumentation dans les preuves mathématiques.
En substance, vos remarques abordent des questions profondément philosophiques sur la nature de la vérité mathématique, le rôle des preuves empiriques dans l’établissement de ces vérités et les normes de démonstration mathématique. Ces questions ont une longue histoire et font l’objet de débats permanents dans la philosophie des mathématiques. Elles nous rappellent que les mathématiques, malgré leur réputation de certitude et de précision, ne sont pas à l’abri d’un examen philosophique.
La vérité
Votre application aux mathématiques des trois modes d’accès à la vérité d’Aristote offre une perspective intéressante. En effet, les axiomes, les théorèmes et les observations du monde physique font tous partie intégrante des mathématiques, et il est essentiel de comprendre leur interaction.
Tout d’abord, vous avez raison de dire que le théorème d’incomplétude de Gödel n’est pas le premier à postuler que la vérité peut être plus vaste que les démonstrations. Aristote reconnaissait en effet qu’il existait des vérités que nous pouvions connaître sans démonstration, comme les principes fondamentaux, les définitions ou les perceptions de nos sens. La contribution de Gödel, cependant, a été sa démonstration mathématique de ce principe dans un système formel, montrant qu’il existe des déclarations vraies dans le système qui ne peuvent être prouvées à partir des axiomes du système.
Vous soulevez également une critique importante de l’importance excessive accordée à la preuve formelle en mathématiques, en suggérant que les mathématiciens pourraient négliger les vérités qui peuvent être observées dans le monde ou établies par des définitions. Le cas du théorème de Goodstein en est un bon exemple, où une vérité d’observation est transformée en un théorème formel. Cela peut en effet être considéré comme le reflet d’un certain état d’esprit au sein de la communauté mathématique, qui valorise la formalisation et la preuve rigoureuse de concepts même lorsqu’ils peuvent sembler « évidents » d’un point de vue empirique.
En outre, votre remarque sur les preuves erronées et les pièges potentiels d’une confiance excessive dans les preuves formelles est tout à fait pertinente. Il est vrai que certaines démonstrationes mathématiques se sont avérées défectueuses, souvent en raison d’oublis, d’erreurs ou de conceptions erronées. Cela souligne l’importance de la vérification et de la reproduction en mathématiques, comme dans toutes les disciplines scientifiques.
Les mathématiques comme « physique virtuelle »
Le cas historique de l’invention du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz illustre bien l’interaction entre l’observation empirique et le raisonnement mathématique formel. Ici, le monde physique (l’observation du mouvement des planètes) a influencé le cadre mathématique développé, démontrant l’importance des preuves empiriques dans le développement des idées mathématiques.
L’argument selon lequel les preuves mathématiques ne devraient pas subrepticement importer des éléments de la physique est intriguant. Cette idée met en lumière la distinction entre les mathématiques en tant que discipline purement formelle et la physique en tant que discipline empirique. S’il est vrai que les mathématiques sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes physiques, l’argument avancé ici est que cela devrait être fait de manière explicite et non en introduisant clandestinement des preuves empiriques sous le couvert d’une preuve mathématique. Cela pourrait en effet conduire à un brouillage de la frontière entre ce qui est modélisé et ce qui est simplement représenté, comme vous le suggérez.
Originalité de vos vues
Vous avez soulevé un certain nombre de points qui donnent à réfléchir dans vos remarques. Voici quelques observations :
La relation entre les mathématiques et la physique : Vous soulignez clairement l’interconnexion profonde entre les mathématiques et la physique. L’argument est que les mathématiques servent souvent de « physique virtuelle » en raison de la manière dont leurs axiomes et théorèmes tendent à s’appliquer aux phénomènes physiques. Il s’agit d’un point de vue nuancé qui reconnaît l’utilité des structures mathématiques dans la modélisation du monde physique.
L’intuition des mathématiciens : Vous suggérez que l’intuition des mathématiciens est façonnée par le monde empirique et que cette intuition les guide dans le développement d’outils et de théorèmes mathématiques. Il s’agit d’une perspective fascinante qui propose un pont entre le monde abstrait du raisonnement mathématique et le monde concret et empirique de l’expérience sensorielle.
Le rôle des axiomes : Vous affirmez que les axiomes, qui sont censés être des vérités évidentes, ne sont pas entièrement abstraits mais sont souvent choisis de manière à favoriser l’applicabilité physique. Il s’agit d’une affirmation controversée qui remet en question la conception traditionnelle des axiomes en tant que constructions purement logiques.
La question de la causalité et de la simulation : Vous discutez de l’utilisation des mathématiques pour concevoir des modèles de la réalité physique, y compris des modèles de causalité et des simulations. Cela reflète le pragmatisme de votre approche des mathématiques, que vous considérez comme un outil permettant de comprendre et d’expliquer le monde qui nous entoure.
Critique de la méthode mathématique : Vous invoquez la critique de George Berkeley pour souligner les aspects problématiques de la pratique mathématique, en particulier la « compensation des erreurs » et les « fantômes des quantités disparues ». Cette perspective historique permet d’éclairer les débats actuels sur les fondements et la méthodologie des mathématiques.
Le rôle de la géométrie non euclidienne et des tenseurs dans la théorie de la relativité d’Einstein : Vous soulignez le rôle joué par un heureux hasard dans l’accès d’Einstein à ces outils mathématiques au moment où il en avait besoin pour sa théorie. Cela souligne le rôle de l’innovation mathématique dans les percées scientifiques.
Acceptabilité de vos vues
D’un point de vue global, vos remarques offrent une perspective riche sur la relation profonde entre les mathématiques et la physique, le rôle de l’intuition dans la créativité mathématique et les pièges potentiels de la méthodologie mathématique. Toutefois, ces points de vue ne sont pas forcément partagés par tous les mathématiciens ou physiciens. Par exemple, beaucoup soutiendraient que la nature abstraite du raisonnement mathématique lui permet de transcender le monde physique et que les axiomes sont choisis pour leurs propriétés logiques plutôt que physiques. Néanmoins, votre point de vue apporte une contribution perspicace à ces débats en cours.
Votre critique de la démonstration de Gödel et de sa dépendance à l’égard des croyances platoniciennes est un autre point fascinant. Gödel était en effet platonicien et croyait en l’existence d’entités mathématiques indépendantes des esprits humains. L’affirmation selon laquelle il aurait subrepticement glissé des preuves empiriques dans sa démonstration, brouillant ainsi la frontière entre la physique et les mathématiques, est une affirmation substantielle qui nécessiterait un examen minutieux du travail original de Gödel.
Il convient toutefois de noter que les théorèmes d’incomplétude de Gödel ont été largement acceptés et ont exercé une profonde influence sur la logique mathématique et l’informatique. Vos critiques, bien qu’elles suscitent la réflexion, représentent un point de vue minoritaire qui devrait gagner l’assentiment de la communauté mathématique et philosophique dans son ensemble.
Illustration par DALL-E (+PJ)
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