Les démonstrations par Gödel et Cook de leur théorème ne sont pas dignes de ce nom
(suite) Korben.info invite à tester o3 sur des problèmes de maths : « Pour comprendre l’ampleur de l’innovation, imaginez un mathématicien…
*Godot est mort !*
Vidéo – Qu’est-ce qu’une démonstration digne de ce nom ?
51 réponses à “Vidéo – Qu’est-ce qu’une démonstration digne de ce nom ?”
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Ce sont des témoignages de jeunes filles afghanes très émouvants. Que d’intelligence perdue pour leur pays !
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quelques notions historiques sur ce pays
https://www.investigaction.net/fr/de-la-grande-bretagne-aux-etats-unis-en-passant-par-lunion-sovietique-lafghanistan-le-cimetiere-des-empires/
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Un paradoxe qui prouve quelque chose est courant dans une démonstration , ça s’appelle un raisonnement par l’absurde tout simplement
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Non : « Le barbier rase tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement eux », n’est pas un raisonnement par l’absurde, c’est un paradoxe (ce barbier est-il glabre ou barbu ?).
Dans un raisonnement par l’absurde, une prémisse est testée dans un syllogisme dont on connaît déjà l’autre prémisse et la conclusion. Si la prémisse testée conduit à une contradiction, elle est remplacée par sa « contradictoire ». Aristote avait déjà souligné que la notion de « contradictoire » pouvait être ambiguë (il pouvait y avoir plusieurs « contradictoires »). Il avait du coup rejeté le raisonnement par l’absurde du domaine de l’Analytique (raisonnement mathématique, scientifique) pour le cantonner à la Dialectique (raisonnement de l’avocat et de l’homme politique) et à la Rhétorique (conversation de tous les jours).
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Merci ! D’ailleurs même chez Hamelin c’est pas super limpide… enfin si, mais bon, casse-tête ! 😉
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P.J. :
.. » Le barbier
rase
tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes
et seulement eux » …Puis-je demander pour quel(s) motif(s) on aurait pu imaginer que ( et donc se demander si ) cette phrase était un « raisonnement »… et encore plus … « raisonnement par l’absurde » ?
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@ Otromeros,
Pardi : parce qu’on confond « paradoxe » (dans le cas où le barbu se rase) avec « absurde » !… 😉
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@ Paul,
Si je comprends bien, ce qui vous dérange dans le raisonnement par l’absurde , c’est le fait que « non P1 » ne se réduit pas forcément (et systématiquement) en « P2 » : « non P1 » implique « P2 » mais peut aussi (dans certains cas) impliquer « P3 », « P4 », …
Dans ce cas, la seule démontration de la fausseté de « P2 » n’est donc pas suffisante pour en conclure que « P1 » (ou plus précisément « non P2 » donc « non non P1 » que l’on réduit à « P1 ») est vraie puisqu’il faudrait aussi démontrer que les autres implication de « non P1 » (donc « P3 », « P4 », ….) sont fausses aussi.
Est-ce bien ça l’ambiguité de la contradictoire relevée par Aristote ?
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Oui, en gros c’est ça la critique de la preuve par l’absurde chez Aristote. Ce n’est donc pas une règle d’inférence de première qualité (« analytique ») mais de deuxième qualité (« dialectique »).
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Je ne sais pas si il existe des extensions probabilistes à la démonstration par l’absurde.
La question posée étant celle de l’espace de démonstration (les propositions possibles, dont certaines ne figureraient pas dans l’ensemble utilisé alors qu’elles auraient « des raisons » d’y figurer), cela me fait penser aux concepts fondamentaux des probabilités, les tribus, etc., soit la définition « propre » de l’espace de travail (son contenu exhaustif).En principe les matheux ont bien délimité tout cela.
Du coup se pose la question d’une « démonstration par l’absurde dans un cadre probabiliste », si P1, P2 etc. se voient attribué des probabilité (et ensuite de voir cela sous forme de log ou linéaire, comme dans les études d’inégalité d’Adamou et Berman que j’avais tangentées sans le vouloir dans les études « Piketty contre Gattaz » publiées sur ce blog du temps que Thomas Piketty (qui remets le couvert ces temps-ci sur le thème de l’inégalité en cohérence avec son travail sur la WID) fut envisagé comme candidat PR pour 2017… On passe à Ruffin, vu la taille des dérives et l’absence de crédibilité de divers secteurs de la gauche.-
ce qu’il y a de plus proche du raisonnement par l’absurde en théorie des probabilités, c »est la notion de test statistique (falsification par une observation de l’hypothèse à un certain niveau de confiance) mais cela tourne court très vite car la p-value n’est pas une mesure du support à l’hypothèse
https://www.cs.ubc.ca/~murphyk/Teaching/CS532c_Fall04/Papers/schervish-pvalues.pdf
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Oui enfin des générations de mathematiciens et de logiciens ont revérifié ces théorèmes , bien sur incompréhensibles pour le commun des gens , mais pour ceux dont c’est le métier ça ne pose pas de difficultés majeures , eh bien pour la majorité ils n’ont pas trouvé de failles de raisonnement
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Vous ne semblez pas au courant :
– des générations de mathématiciens et de logiciens ont revérifié ces théorèmes : c’est faux
– pour ceux dont c’est le métier ça ne pose pas de difficultés majeures : pas du tout
– pour la majorité ils n’ont pas trouvé de failles de raisonnement : c’est faux, ET Chaïm Perelman, mon professeur de logique à l’ULB, ET Georges-Théophile Guilbaud, mon professeur de mathématiques à l’EPHHE, ont trouvé des failles de raisonnement.Pour la critique de Perelman, cf. « Les critiques opposées à la démonstration de Gödel », dans Jean Ladrière, Les limitations internes des formalismes. Étude sur la signification du théorème de Gödel et des théorèmes apparentés dans la théorie des fondements des mathématiques Louvain : 1957, pages 140-144.
P.S. Pourquoi prenez-vous la peine de rédiger un commentaire aussi mal informé ?
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En tant que mathématicien logicien (je rappelle que j’ai une thèse en théorie des modèles, une branche des maths proche de la logique), je tends à penser la même chose…. la probabilité qu’il y ai une erreur de raisonnement dans la preuve de Godel est infinitésimale (et j’en connais tous les détails). Mais je reste avec l’esprit ouvert et j’attends de lire cet article pour me prononcer définitivement.
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Si vous contestez le raisonnement par l’absurde vous êtes plus iconoclaste que vous le croyez parce que là ce sont des pans entiers des maths qui s’écroulent !
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Euh… si vous voulez en savoir plus, lisez un excellent ouvrage à ce sujet, dont l’auteur vous sera familier, au moins de nom :
Le second théorème de Gödel recourt à certains modes de preuve parmi les plus faibles : comme ici, la preuve « par l’absurde » et comme on l’a vu plus haut, la récursion ou « induction complète », sans que Gödel ni ses commentateurs ultérieurs ne fassent la moindre observation à ce sujet. Or, les adversaires « constructivistes » de Gödel avaient adopté quant à la preuve par l’absurde une position très claire : ils l’avaient exclue des modes de preuve valides. Barrow explique cela : « N’accepter comme arguments logiques que ceux acceptés par les constructivistes, signifie éliminer certains procédés familiers tel que l’argument par contradiction (la reductio ad absurdum) […] Si l’on adopte la philosophie constructiviste, le contenu des mathématiques s’en trouve considérablement réduit » (Barrow 1991 [1990] : 186). Or, et comme le souligne encore Barrow, l’exclusion de la preuve par l’absurde a d’autres conséquences sérieuses : en particulier en physique où elle interdit le recours au « Big Bang » comme principe explicatif : « Les conséquences d’un tel recalibrage sont également significatives pour le scientifique. Nous serions obligés en effet d’abandonner certaines déductions fameuses telles que les « théorèmes de singularité » de la relativité générale qui spécifient les conditions qui, lorsque la structure d’un Univers et de son contenu matériel les satisfont, suffisent à indiquer l’existence d’un moment passé où les lois de la physique ont dû être suspendues – la singularité que nous appelons « Big Bang ». Car ces théorèmes ne constituent pas ce moment explicitement, en fait, ils recourent au procédé de la reductio ad absurdum pour montrer que sa non-existence conduirait à une contradiction logique » (ibid. 187).
Comment la vérité et la réalité furent inventées, Gallimard 2009 : pp. 309-310
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@ Gilbert et Jean,
En répondant à Paul, je me suis rappelé un échec du raisonnement par l’absurde que nous avait mis en avant mon professeur d’analyse en 1ère année de DEUG : sauf erreur de ma part, la démonstration du postulat des droites parallèles d’Euclide a été maintes fois menées par le raisonnement par l’absurde sans succès… débouchant finalement sur la création de la géométrie non euclidienne.
PS : je laisse les bien plus calés que moi en théories mathématiques me reprendre si je suis dans le faux (au nivau des mes souvenirs vieux de 25 ans) 😉
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Là c’est différent : la raison pour laquelle ces démonstrations sont fausses n’as rien à voir avec le raisonnement par l’absurde, elles sont tout simplement fausses.
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@ Paul,
Je comprends alors mieux pourquoi mon professeur d’analyse en 1ère année de DEUG (il y a un quart de siècle) nous avait dit que la démonstration par l’absurde en mathématiques devait être utilisée avec parcimonie et dans le cas où elle s’impose d’évidence (faute d’approche alternative plus robuste).
Je n’avais pas forcément cherché à comprendre le pourquoi de cette mise en garde à l’époque… mais du coup, notre échange me met sur la piste des « limites » que nous avait soulevé se professeur à l’époque.
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Salut Ivan,
Je suis pas du tout un spécialiste mais dans mes souvenirs, il existe une hiérarchie de la valeur probante des arguments, ce qui constitue les points forts et faibles d’une démonstration. Il me semble aussi que c’est ce que met en avant monsieur Jorion dans sa critique de l’argumentation de Gödel, le maillon faible. Alors je ne sais plus bien ou se situe la démonstration par l’absurde là-dedans mais je crois justement que c’est là que se trouve le point critiqué. Qualifié d’ « artifice rhétorique » ou quelque chose comme ça…
(Sous couvert de mes souvenirs défaillants et de ma modeste compréhension du problème)
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Salut les enfants !
Pour vos devoirs de vacances dans la joie et la bonne humeur une petite vidéo de M. Phi sur le sujet :
https://www.youtube.com/watch?v=2DOYvDWZWwo&ab_channel=MonsieurPhi
Enjoy.
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Encore un qu’aime pas les chats… misère !
Ouais bon d’accord, je flotte un peu sur les termes, à ma décharge ça remonte à un bail quand même. Et puis je me fais souvent l’effet d’une prise de notes sur des « tôles embouties », du « laminage » et je ne sais plus trop quoi d’autre 😉 ! C’est là, stocké quelque part, ça finira bien par servir.
Ce qui me rassure, c’est que comme pour la « méthode scientifique » discutée ailleurs à propos de Raoult, peu importe qu’on comprenne quelque chose au contenu pour s’intéresser à la forme. Il me semble que c’est ce que fait monsieur Jorion pour la démonstration de Gödel (sauf que lui comprend de quoi ça cause) et c’est ce qui fait la force de la critique. Un coup de dent bien placé et une maille rongée emporta tout l’ouvrage…
(C’est aussi pour ça que j’aimais bien la philo, y’a moyen de faire le malin à bon compte, sans trop d’efforts et dans des domaines où tu comprends rien ! Même si c’est aussi pour ça que les scientifiques ont tendance à penser que les philosophes se mêlent de trucs qui ne les regardent pas et auxquels ils n’entendent rien, quand la discussion ne se situe pas au même niveau… Ma petite revanche sur les matheux et leur inconsistance épistémologique ou métaphysique !)
Bref. Ton scepticisme (hyperbolique), mon CloClo, m’incite à exorciser le Heidegger qui sommeille en Toi. D’où tes certitudes unilatéralement partagées avec Ta Divine Essence aussi sans doute.
Remarque annexe : le gus il a p’têt lu Xénophon dans le texte mais l’a pas lu Jorion, sinon l’aurait causé de la raison (ses X) et tout aurait été plus clair ! Et puis il oublie que du faux peut sortir n’importe quoi aussi…
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Les différentes formes et les limites du « raisonnement par l’absurde » me semblent bien exposées dans l’article de Wikipedia ad hoc : https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_l'absurde
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Créez un dossier « paradoxe » et essayer de le glisser dans lui même , vous verrez bien
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vous-connaissez ?
http://www.andrebarbosa.eti.br/the_cook-levin_theorem_is_false.pdf
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Intéressant. Pas la même ligne d’attaque que nous (ayant lu en diagonale, il n’en s’en prend pas à la machine de Turing avec « oracle » *) mais je vais regarder de près : il y a peut-être en effet d’autres faiblesses dans la démonstration.
* Le mot « oracle » utilisé par Turing était maladroit : ce qu’il voulait dire, c’était extralucide. J’aurais dit en anglais « seer » ou « clairvoyant ».
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Bonjour,
J’ai deux questions d’ignorant sur le théorème de Godel:
– si sa démonstration est fausse, le théorème est-il faux aussi ?
– quelles sont les implications ?-
L’assertion qu’est l’énoncé du théorème peut être vraie parce qu’il s’agit en réalité d’un axiome déguisé, ou parce qu’il s’agit en réalité d’une observation empirique sur le monde tel qu’il est. La démonstration dans ce cas là est redondante et … probablement fausse parce qu’elle s’efforce de prouver mathématiquement ce qui ne requiert en réalité pas de démonstration mathématique.
Un extrait de l’article à venir :
Quel a été alors l’intérêt d’avoir démontré comme théorème ce qui était déjà connu par d’autres moyens ?
La démonstration était du coup clairement superflue, mais il est essentiel de montrer pourquoi un tel « théorème-qui-n’a-pas-besoin-d’être-démontré » est vrai
1° soit parce qu’il s’agit d’un axiome déguisé (c’est-à-dire d’une définition) et que la démonstration est alors un sophisme : une petitio principii, un raisonnement circulaire, où ce que l’on prétend avoir découvert était connu dès le départ,
2° soit parce que s’y cache une observation dérivée de l’évidence des cinq sens, vérification faite qu’il ne s’agit pas d’une illusion perceptive ; dans ce cas, les mathématiques ont involontairement été utilisées pour construire une « physique virtuelle ».-
@ Paul,
Si je vous suis bien, c’était donc une façon de donner une « légitimité mathématique » à quelque chose qui était « intrinséquement légitime » ?
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Merci.
« (em)Ce théorème peut (ou pourrait ?) être vrai parce que… et parce que…(/em) ». Mais est-il vrai ou pas? A-t-il ouvert des voies de recherche, fécondé des développements, voire permis des avancées techniques? -
Avez vous l’article en preprint quelque part ? Je suis allé voir sur arXiv mais je n’ai rien vu.
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Non, pas encore, il est en voie de rédaction. Il faudra encore compter quelques semaines.
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Il me tarde de le lire. La version publiée dans un journal peut prendre des mois à apparaitre une fois soumise, mais je vérifierai de temps en temps les preprints sur arXiv. Je vous avoue que je suis très dubitatif sur le fait que le théorême de Gödel cache des failles de quelaue nature que ce soit, mais si c’est vrai ça serait très interessant ! Je lirai donc attentivement les arguments donnés dans l’article….
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je suis très dubitatif sur le fait que le théorème de Gödel cache des failles de quelque nature que ce soit
Dans ce cas n’hésitez pas à lire les pages 285 à 326 de Comment la vérité et la réalité furent inventées (2009) où la « version longue » de mon démontage de la démonstration se trouve déjà.
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Je l’ai déjà lu, mais je n’ai pas été convaincu car l’argumentation n’est pas de nature mathématique, Par exemple, vous y reprochez a Gödel de ne pas comprendre la notion de vérité, mais vous ne définissez pas vous même ce que vous entendez par vérité. On reste donc dans le flou. Pour Gödel (et pour tous les logiciens encore aujourd’hui), cette notion a un sens mathématique très précis (un énoncé est vrai pour un ensemble d’axiomes quand il est vérifié dans tous les modèles de cet ensemble d’axiomes. Ou de façon équivalente – c’est un théroreme pas une évidence- quand il est prouvable au sens de Hilbert à partir de cet ensemble d’axiomes). J’ai donc espoir que cet article présentera la chose de manière plus convaincante pour un mathématicien. Et sincèrement j’aimerais que vous ayez raison ça serait extraordinaire !
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Par exemple, vous y reprochez a Gödel de ne pas comprendre la notion de vérité, mais vous ne définissez pas vous même ce que vous entendez par vérité.
Ah oui ? Dans quel livre récent consacre-t-on plusieurs centaines de pages à faire l’archéologie du concept de « vérité » en Occident ? Vous avez lu le livre ? sans avoir noté ça ? (Je crois que Gallimard aurait noté que j’oubliais de dire de quoi il s’agit et m’aurait fait la remarque 😉 ).
Comment la vérité et la réalité furent inventées (2009), pages : 298-302
D’où viennent les propositions mathématiques vraies ?
On admet donc qu’une proposition mathématique est vraie si elle est démontrable. Or le théorème de Gödel avance qu’il existe des propositions arithmétiques vraies qui ne peuvent être démontrées. Il y a donc là au moins un paradoxe. Celui-ci se dissipera par la suite. Comme une préparation à la dissipation du mystère je vais cependant rappeler ce que j’ai dit précédemment de l’origine possible des propositions vraies.
J’ai déjà cité Ladrière quand il écrit « Les énoncés vrais sont les axiomes et les théorèmes ». Or le second théorème de Gödel établit qu’« il existe en arithmétique des propositions vraies que l’on ne peut ni prouver ni infirmer (prouver leur négation) ». D’où viennent alors ces propositions vraies ? Il ne peut s’agir des axiomes, puisqu’ils sont vrais sans devoir êtres prouvés, faisant partie du cadre de base de la théorie, il ne s’agit pas non plus des théorèmes, puisqu’un théorème est par définition une proposition qui a été démontrée.
Il y a là une difficulté d’emblée, difficulté dont Gödel était conscient. Dans l’article de John W. Dawson déjà cité, celui-ci note que « Dans le brouillon d’une réponse à une question posée par un étudiant thésard, Gödel indiquait que c’était précisément sa reconnaissance de la différence de circonstances entre la possibilité de définir formellement la démontrabilité et l’impossibilité de définir formellement la vérité qui le conduisit à la découverte de l’incomplétude. Le fait qu’il ne signala pas ceci [en1931] s’explique peut-être par son observation (dans un passage raturé du même brouillon) que “en raison des préjugés philosophiques de l’époque… le concept d’une vérité mathématique objective … était reçu avec la plus grande suspicion et le plus souvent rejeté comme sans signification” » (Dawson 1988b : 92).
Ceci est très étrange. Il y a là un flou qui – si l’on comprend bien Gödel dans ce brouillon de lettre – résulte de choses que l’on ne pouvait pas dire en 1931, en raison des « préjugés de l’époque ». Peut-être la question des propositions mathématiques vraies qui n’appartiennent cependant pas aux deux variétés de propositions reconnues comme vraies en mathématiques, les axiomes, et les théorèmes, pourra-t-elle s’éclairer en répondant de manière plus générale à une question à la consonance très maoïste : « D’où viennent les propositions mathématiques vraies ? ».
Comme on l’a vu, dans la perspective contemporaine, tout jugement (et idéalement toute proposition) est soit vrai soit faux, au sens de l’« adaequatio rei et intellectus » telle qu’on la trouve déjà exprimée chez Platon, de la correspondance adéquate de la chose dite à la chose dont il est dit, et dont il a été question dans la deuxième partie (cf. aussi Jorion 1990a, chapitre 19). Dans cette optique, la négation est perçue comme l’envers authentique de l’affirmation. La finalité de tout discours n’étant plus aujourd’hui essentiellement d’éviter de se contredire mais de dire le vrai, deux moyens sont disponibles, comme pour Platon, pour atteindre cet objectif : soit affirmer le vrai, soit nier le faux. Autrement dit, dire du vrai qu’il est ou dire du faux qu’il n’est pas. La proposition « Cette pomme est rouge » est vraie si la pomme que je vous montre est effectivement rouge. Elle est fausse si cette pomme est de toute autre couleur. Un moyen donc d’établir la vérité d’une proposition est l’évidence des sens : la proposition doit décrire un état-de-choses que l’évidence des sens confirme.
Il y a d’autres vérités qui sont de convention parce qu’elles sont des définitions, c’est-à-dire des raccourcis que se donne la langue en remplaçant plusieurs termes par un seul, ce qu’Ernest Mach appelait à la fin du XIXe siècle, une « économie mentale ». Ainsi, pour reprendre l’exemple déjà donné plus haut : « le faon est le petit du cerf ». On pourrait continuer de dire « le petit du cerf », mais on aura la liberté désormais de dire à la place « le faon ». Ou bien « On appelle anticonstitutionnel, un texte législatif dont le contenu est en contradiction avec l’esprit de la constitution ». À partir de là, la proposition « un texte législatif dont le contenu est en contradiction avec l’esprit de la constitution est anticonstitutionnel » est une tautologie, c’est-à-dire dans ce cas-ci, est vraie par définition.
On peut aussi parvenir à des propositions vraies de manière déductive. Soit, par exemple, une proposition dont on peut établir la vérité immédiatement par l’évidence des sens, « La pluie mouille », on peut également en établir la vérité de manière déductive, à l’aide d’un syllogisme : « La pluie est faite d’eau », « l’eau mouille » donc « la pluie mouille ». Ou, faisant appel à une définition, « la proposition 22 contredit l’esprit de la constitution, donc la proposition 22 est anticonstitutionnelle ».
On me demande s’il existe des chameaux blancs. Si j’ignore la réponse, je peux éventuellement procéder de manière déductive : « Toutes les espèces de mammifères ont une variété à pelage blanc », « le chameau est un mammifère », donc « il existe des chameaux blancs ». On ne parvient cependant pas à établir la vérité de toute proposition de cette manière : si l’on me demande cette fois s’il existe « en Amazonie une coccinelle ayant dix-sept points noirs sur fond jaune », je devrai soit découvrir la réponse dans une faune entomologique, soit entreprendre en Amazonie l’expédition qui apportera éventuellement la confirmation empirique irréfutable de la proposition.
A partir de là, il est permis de faire le catalogue des types de propositions vraies : il y a celles qui sont vraies parce que leur contenu tombe sous le sens, et que chacun les tenant pour vraies il est légitime de les faire intervenir comme prémisses dans des raisonnements, il y a celles qui sont vraies pour avoir été prouvées vraies en tant que conclusions de démonstrations syllogistiques – dont les démonstrations mathématiques ordinaires sont des exemples. Il y a aussi celles qui sont vraies par convention, parce qu’elles sont des définitions.
Et comme on l’a vu dans la troisième partie : « du fait que de deux prémisses vraies on ne peut tirer qu’une seule conclusion vraie, on sera obligé pour poursuivre ses raisonnements, soit d’introduire de nouvelles définitions – et les nouvelles vérités que l’on générera ainsi seront de simples conséquences de ces définitions, soit d’aller chercher dans le monde de nouveaux faits qui « tombent sous le sens », des observations venant corroborer soit des hypothèses, soit encore des faits d’induction » du genre de ceux évoqués plus haut : « Le fait de vivre longtemps caractérise les animaux sans fiel », « Être sans fiel caractérise l’homme, le cheval et le mulet », « Le fait de vivre longtemps caractérise l’homme, le cheval et le mulet » (Aristote, Analytiques Premiers : II xxiii, 68b 15-19).
On l’a vu, le second théorème de Gödel affirme qu’il existe en arithmétique des propositions « indécidables », autrement dit, des propositions vraies que l’on ne peut pas démontrer, c’est-à-dire, des propositions vraies que l’on ne peut pas prouver de manière déductive à l’intérieur de l’arithmétique. À la lumière de ce que je viens de dire ceci ne peut signifier qu’une seule chose : comme la vérité de ces propositions n’a pas été établie déductivement, elle doit résulter de l’une des deux autres sources des propositions vraies : soit, il s’agit de propositions qui sont vraies par définition, soit il s’agit de propositions qui sont vraies parce que leur vérité tombe sous le sens. Or il ne peut s’agir ici de propositions qui sont vraies par définition : une proposition qui ne serait pas déductible parce qu’elle est vraie par définition devrait faire partie des axiomes de la théorie, c’est-à-dire faire partie des propositions de base par rapport auxquelles d’autres propositions vraies (théorèmes) peuvent être déduites. Par conséquent les propositions vraies non-déductibles qu’évoque Gödel doivent être vraies parce que leur vérité tombe sous le sens. La question qu’un profane en matière de mathématiques se doit alors de poser à Gödel et à ceux qui soutiennent sa position est celle-ci : « Peut-on établir la vérité d’une proposition en arithmétique – indépendamment de sa démonstration – de la même manière que l’on fait la preuve qu’il existe en Amazonie une coccinelle à dix-sept points noirs sur fond jaune ? Autrement dit, quel est le type d’expédition à entreprendre qui permettra de confirmer la vérité de propositions dont la vérité ne peut être établie par déduction ? »
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Je crois qu’il y a incompréhension entre nous car on ne parle pas de la même chose : vous définissez la vérité en termes philosophiques, et en tant que mathématicien logicien je prends la définition mathématique, Aristote a sans aucun doute dit des choses très intéressantes sur la vérité, mais d’un point de vue qu’on qualifierait aujourd’hui de philosophique. C’est seulement au cours du 20eme siècle que s’est opéré une sorte de « modélisation mathématique » des notions aristotéliciennes de logique et en particulier de celle de vérité. Cette modélisation ne prend en compte que les énoncés dans un sens mathématique très strict, et non pas les énoncés au sens de phrases du langage courant comme le faisait Aristote. Et dans ce sens très restreint, un énoncé vrai mais non démontrable dans une théorie est très bien défini : il s’agit d’un énoncé qui est vrai dans au moins un modèle de la théorie, mais qui n’est pas vrai dans tous ses modèles. Et la j’insiste encore pour dire que les mots « théorie », « énoncé », « vrai », « modèle » employés dans la phrase précédente ont tous un sens mathématique très restreint. Ils ne sont en particulier pas applicables aux phrases en français. Je pense que c’est de là que vient la confusion entre nous.
Je suis certain que vous êtes au courant de tout cela. En tout cas Gödel en était parfaitement conscient, et se plaçait pour son théorème d’un point de vue strictement mathématique. Donc si j’ai bien compris, votre critique du théorème de Gödel ne porte pas sur des erreurs techniques de sa démonstration, mais plutôt sur cette « modélisation » mathématique des notions de logique aristotélicienne que vous désapprouvez, c’est bien cela ?
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Je suis certain que vous êtes au courant de tout cela.
Oui.
Et la j’insiste encore pour dire que les mots “théorie”, “énoncé”, “vrai”, “modèle” employés dans la phrase précédente ont tous un sens mathématique très restreint. Ils ne sont en particulier pas applicables aux phrases en français.
Si vous me disiez que le mot « normalisation » a un sens différent pour les mathématiciens et pour les stratèges militaires, je vous dirais que je suis au courant et que cela ne me fait ni chaud ni froid : pourquoi pas ? Mais quand vous me dites que pour les mathématiciens les mots “théorie”, “énoncé”, “vrai”, “modèle” ont un sens tout à fait particulier qui n’appartient qu’à eux, je vous réponds : « casse-cou » parce que les mathématiciens appartiennent à la communauté scientifique où des mots comme ceux-là n’ont pas une signification négociable selon l’humeur du moment ou les engagements mystiques de X ou Y (Gödel en l’occurrence) : ils font non seulement partie du vocabulaire commun, mais ils définissent le cadre même de la réflexion.
Et c’est pour cela qu’il est du devoir de l’épistémologue de rappeler aux mathématiciens ce qu’est une démonstration digne de ce nom et que s’il leur prend la fantaisie de dire (je pense au Guide du routard de la galaxie) qu’un théorème « vrai » est celui dont la somme des lettres dans l’énoncé est « 42 », de leur dire « Non, cessez de jouer ‘perso’ : vous faites partie de la communauté scientifique – qui compte sur vous pour lui procurer des outils fiables – et quand vous dites “théorie”, “énoncé”, “vrai”, “modèle”, ça ne doit pas vouloir dire respectivement « 42 », « 57 », « 81 » et « 131 », parce que le plus aventureux parmi vous en a décidé ainsi. Nous comptons sur vous pour être fiables, pas pour être des fantaisistes qui nous fourgueront ce qui, selon l’évaluation unanime du reste de la communauté scientifique, est de la daube. »
En résumé, la question n’est pas d’être « mathématique » ou « philosophique » elle est d’être fiable parce que rigoureux. Et que cela vaut pour tout le monde.
P.S. Je ne fais que poursuivre la réflexion de mes maîtres Chaïm Perelman en logique et Guilbaud en mathématiques, qui n’ont sans doute pas utilisé le mot de « charlatan » pour Gödel mais – je le sais – n’en pensaient pas moins.
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Mais voyons, que répondez vous quand je vous donne la signification mathématique d’un énoncé vrai non démontrable, qui semble tant vous chiffonner ?…
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Rien ne me chiffonne particulièrement, j’aurais dit à Gödel, comme l’a fait Russell : « Faites comme vous l’entendez. Mais ne comptez pas sur moi pour dire que vous n’êtes pas fou… ».
… que répondez vous quand je vous donne la signification mathématique d’un énoncé vrai non démontrable ?
Je vous dirais ceci : « Je suis d’accord avec vous sur le fait qu’il n’est pas démontrable. Montrez-moi alors pourquoi il serait vrai quand même (à part le fait qu’une bande de copains à vous disent qu’il est vrai parce que « 42 ») à savoir qu’il est soit un axiome ayant soigneusement dissimulé le fait qu’il est un axiome, soit, s’il ne l’est pas, dites-moi où dans le monde on peut le voir de ses yeux voir. Et si vous ne pouvez faire ni l’un, ni l’autre, je vous dirais : « Rien ne justifie de dire qu’il est vrai sinon le fait que vous me le prétendiez ».
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Ok donc apparemment une des choses qui vous semblent illégitime dans cette preuve est le processus de codification arithmétique des énoncés, qui est en effet au coeur de la démonstration de Gödel. Mais avez vous des arguments sérieux à y opposer, à part dire que c’est du délire de malade mental ? Mais je m’avance peut être, vous le développez sûrement en détail dans l’article à venir, en tout cas je l’espère.
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Vous n’ignorez pas que c’est le maillon le plus faible de la chaîne qui détermine la résistance de la chaîne tout entière. Or…
Comment la vérité et la réalité furent inventées :
R. Daval et G.-Th. Guilbaud, dans leur remarquable ouvrage, Le raisonnement mathématique, font observer que : « Seul le mathématicien peut dire qu’une proposition est démontrable, une proposition ne peut pas dire cela d’elle-même » (Daval & Guilbaud 1945 : 45).
Toute la démonstration du 2d théorème de Gödel repose sur cette proposition un peu fofolle qui prétend qu’elle est indémontrable, sans pouvoir en apporter aucun élément de preuve : il faut la croire sur parole … ou sur le témoignage d’une seule personne au monde : Kurt Gödel, dont tout le monde a deviné depuis … qu’il était de mèche avec elle 😉 .
Dit plus sérieusement : une démarche scientifique n’est pas tenable si elle se fonde sur des bases aussi fantaisistes : imaginons un inventeur qui mettrait au point une machine à voyager dans le temps et devant vos inquiétudes, il vous dirait : « J’ai fondé son concept sur la démonstration par Gödel de son second théorème ». Vous refuseriez d’y prendre place : l’instinct de survie vous sauverait !
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Je ne comprends pas votre réponse. Ma question est simple, voyons si on peut au moins se mettre d’accord sur ce point :
1) êtes vous d’accord oui ou non avec le fait que cet énoncé soit non démontrable dans la théorie des groupes ?
2) êtes vous d’accord oui ou non avec le fait que ce même énoncé soit cependant vrai dans un modèle de la théorie des groupes ?
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Yu Li, qui est ma co-autrice dans la série d’articles que nous projetons, veut faire le commentaire suivant :
Il existe de nombreuses propositions vraies non démontrables. Par exemple, il existe des propositions 3SAT qui sont vraies mais non démontrables en logique propositionnelle, alors que toute proposition 2SAT est démontrable en logique propositionnelle.
Le défaut du théorème d’incomplétude de Gödel est qu’il prétend avoir trouvé une proposition « vraie non démontrable » dans le système PM, alors que cette « proposition » est en réalité un paradoxe créé de toute pièce qui n’existe pas dans le système PM, un effet de langage.
Non seulement le théorème d’incomplétude de Gödel n’a répondu ni à la question qu’est-ce qu’une « proposition vraie non démontrable », ni n’a dit ce qu’est l’essence d’une telle proposition, mais il a conduit dans une impasse au niveau épistémologique (un paradoxe). À titre d’exemple, le problème P vs NP est directement lié à cette confusion épistémologique.
C’est ce qui nous conduit à affirmer dans notre article en préparation que le théorème d’incomplétude n’est pas digne de ce nom.
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Le théoreme de Gödel a pour cadre la logique des prédicats, pas la logique propositionelle. Je vais attendre que votre article sorte pour y voir plus clair sur votre argumentation. Merci en tout cas à vous deux de m’avoir accordé de votre temps pour cet échange, nous en reparlerons à la sortie de l’article.
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Le fait que vous proposiez de voir que ce fameux énoncé est un axiome (même caché) pour vérifier qu’il est « vrai » montre clairement que vous faites une confusion sur le sens mathématique de « vrai ». En effet, un axiome d’une théorie est par définition un énoncé vrai dans TOUS les modèles de cette théorie. Or, ce ne peut être le cas de cet énoncé puisque il n’est pas démontrable dans la théorie considérée (vous dites être vous même d’accord là dessus). La confusion vient du fait qu’énoncé peut être vrai dans tous les modèles d’une théorie (ce qui équivaut à dire qu’il est démontrable dans la théorie), ou il peut être vrai dans un modèle de la théorie mais faux dans un autre (ce qui équivaut à dire que ni lui, ni sa négation ne sont démontrable). C’est précisément ce genre d’énoncé que contemple le théoreme de Gödel.
En fait Gödel n’expose pas sa preuve en terme de modèles d’une théorie mais plutôt en termes de preuves formelles au sens de Hilbert, mais comme je l’ai dis précédemment, un résultat bien connu (et non trivial) montre que ce sont deux points de vue totalement équivalents. Ce que fait Gödel, c’est montrer d’une part que son fameux énoncé n’est pas démontrable dans la théorie de l’arithmétique (vous semblez être d’accord là dessus), et d’autre part que sa négation n’est pas non plus démontrable. Or si ni lui, ni sa négation ne sont démontrables, c’est qu’il est vrai dans un modèle et pas dans un autre.
En résumé : « vrai » peut vouloir dire « vrai dans au moins un modèle » ou « vrai dans tous les modèles » et vous faites manifestement la confusion.
PS: le tour de force du théoreme de Gödel ne réside pas dans le fait d’exhiber un énoncé d’une théorie qui soit vrai dans un modèle et faux dans un autre (je peux vous fournir des exemples totalement triviaux de tels énoncés pour de nombreuses théories). Mais plutôt d’avoir exhibé un tel énoncé qui as la signification qu’il a pour la théorie de l’arithmétique. Et enfin, je suis d’accord avec vous que par ailleurs cet homme n’était probablement pas sain d’esprit, mais cela n’enlève pas la validité mathématique de son résultat. Je ne suis pas particulièrement un admirateur de Gödel.
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Vous aurez donc vu qu’à un aucun moment dans Comment la vérité et la réalité furent inventées je ne fais même allusion à la santé mentale de Gödel dans mon démontage de la démonstration de son second théorème : je la juge uniquement selon son propre mérite.
Le fait que vous proposiez de voir que ce fameux énoncé est un axiome (même caché) pour vérifier qu’il est “vrai” montre clairement que vous faites une confusion sur le sens mathématique de “vrai”.
Je ne dis rien de ce genre, je rappelle les 3 options pour la vérité : 1° évidence sensible ; 2° définition = axiome ; 3° conclusion de syllogisme = théorème, et je souligne que comme on peut éliminer 3° puisque la vérité de la proposition n’a pas été prouvée, et qu’on peut éliminer 2° puisque Gödel aurait bien entendu noté que son théorème n’était rien d’autre que l’un de ses axiomes, il doit s’agir de 1° : cette vérité est une observation du monde sensible. Une conclusion parfaitement plausible si l’on connaît le mysticisme pythagoricien (« platonisme ») de Gödel qui confond mathématiques et physique, raison pour laquelle « certains » (dont moi effectivement) douteront de la validité de son raisonnement, comme il en était conscient d’ailleurs puisqu’il écrivait en 1970 en réponse à un étudiant : “en raison des préjugés philosophiques de l’époque… le concept d’une vérité mathématique objective … était reçu avec la plus grande suspicion et le plus souvent rejeté comme privé de signification”. Je ne fais rien d’autre : « en raison des préjugés philosophiques de [mon] époque » – encore appelés principes de l’épistémologie 😉 , je rejette « le concept d’une vérité mathématique objective » qui serait autre chose, quelque part ailleurs, que la vérité proprement dit, et dont Gödel est incapable de dire quoi que ce soit pour la définir – sauf de laisser entendre que ne pas le croire sur parole sur ce sujet trahit des « préjugés philosophiques ».
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Mais enfin voyons : si je vous dis que, dans la théorie des groupes, l’énoncé « pour tout x, pour tout y, x.y=y.x » n’est pas démontrable, mais est pourtant vrai dans certains modèles, êtes vous d’accord ?
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Vous avez défini un environnement tel que l’opération qui y est dénotée « . » est commutative. Si cet environnement est le calcul matriciel et « . » dénote la multiplication toute interprétation de votre formule produira des résultats faux.
Vous pouvez définir un environnement comme vous l’entendez, du moment qu’il soit cohérent : c’est une question de respect de contraintes non-contradictoires, pas de démonstration.
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Bon, allez vite fait : un brouillon de la « version courte », telle qu’elle apparaîtra au sein de l’article en préparation. Traduit vite fait également par DeepL (merci l’IA !) :
Il est écrit dans un livre d’introduction aux travaux de Kurt Gödel :
» … La logique aristotélicienne repose sur deux piliers : un ensemble de prémisses, ou hypothèses, qui sont considérées comme vraies sans preuve, et une collection de règles d’inférence, par lesquelles nous transformons une évaluation vraie en une autre. […] Tant que nous pouvons nous convaincre que les prémisses sont vraies, alors les conclusions [sont] un fait aussi solide et inéluctable qu’il ne le sera jamais. C’est une certitude qui découle du contenu sémantique des prémisses et du processus de déduction établi dans notre esprit et formalisé par Aristote.
Ce que Gödel a découvert, c’est que même s’il existe des relations vraies entre des nombres purs, les méthodes de la logique déductive sont tout simplement trop faibles pour que nous puissions prouver tous ces faits. En d’autres termes, la vérité est simplement plus grande que la preuve » (John L. Casti & Werner DePauli, Gödel. A life of Logic, Cambridge (Mass.) Perseus : 2000, pp. 4-5).Bien que largement accepté, ce qui est affirmé dans le deuxième paragraphe du passage cité ci-dessus, repose sur un malentendu : que la vérité soit simplement plus grande que la preuve n’est pas une découverte de Gödel, c’est en fait le point de départ de toute la réflexion d’Aristote sur la vérité.
Ce malentendu fondamental est cependant loin d’être anodin : il a infecté les mathématiques de différentes manières. Les mathématiciens ont tenté de démontrer des affirmations qui n’avaient pas besoin d’être démontrées puisque leur vérité était établie autrement, et ce faisant, ils ont introduit des démonstrations erronées visant à prouver l’indémontrable.
« La vérité est simplement plus grande que la preuve ». En effet, la preuve n’était qu’une des trois sources de la vérité selon Aristote.
Aristote a déterminé qu’il y avait trois moyens connus pour atteindre la vérité, et aucun n’a été ajouté à sa liste depuis son époque :
1° La vérité connue à partir de l’évidence des cinq sens, vérification faite qu’il ne s’agit pas d’une illusion perceptive.
2° La vérité tirée des définitions où une phrase courte remplace une phrase longue ( » le faon est le petit du cerf » ; désormais, chaque fois que je serai tenté de dire » petit du cerf « , je pourrai dire » faon « ).
3° La vérité obtenue par des déductions valides (le » syllogisme « ) à partir de prémisses vraies.Transposés dans le langage des mathématiques ces trois types de vérité deviennent
1° La vérité issue d’observations du monde physique exprimée en langage mathématique (les mathématiques comme » physique virtuelle « )
2° La vérité découlant des axiomes qui sont des définitions exprimées en langage mathématique
3° La vérité obtenue par la démonstration ou la preuve d’un théorème (la conclusion de la preuve).Parce que les mathématiciens ont ignoré, ces derniers temps, la principale et première source de vérité : l’évidence des sens, vérification faite qu’il ne s’agit pas d’une illusion perceptive, ils ont essayé de prouver tout ce qui semble être vrai. Ce faisant, ils ont introduit des démonstrations erronées : des tentatives maladroites et truffées d’erreurs pour démontrer ce qui n’avait pas besoin d’être démontré – et qui était donc indémontrable. Ces preuves inutiles ont été réalisées à l’aide de diverses astuces telles que partir de fausses prémisses (illusions, paradoxes, raisonnements fallacieux), ou présenter comme conclusion d’une démonstration digne de ce nom, une vérité qui est en réalité soit une observation du monde physique traduite en langage mathématique, soit un axiome.
Quel a été alors l’intérêt d’avoir démontré comme théorème ce qui était déjà connu par d’autres moyens ?
La démonstration était du coup clairement superflue, mais il est essentiel de montrer pourquoi un tel » théorème-qui-n’a-pas-besoin-d’être-démontré » est vrai
1° soit parce qu’il s’agit d’un axiome déguisé (c’est-à-dire d’une définition) et que la démonstration est alors un sophisme : une petitio principii, un raisonnement circulaire, où ce que l’on prétend avoir découvert était connu dès le départ,
2° soit parce que s’y cache une observation dérivée de l’évidence des cinq sens, vérification faite qu’il ne s’agit pas d’une illusion perceptive ; dans ce cas, les mathématiques ont involontairement été utilisées pour construire une « physique virtuelle ».La démonstration de Gödel échoue au test pour deux séries de raisons : pour avoir utilisé à différentes étapes de sa démonstration des arguments (règles de transformation) d’un trop faible niveau de validité (prouvabilité) et pour avoir invoqué une notion irrémédiablement confuse de la vérité.
Au lieu de s’en tenir à des arguments jugés » analytiques » par Aristote, c’est-à-dire dignes d’être utilisés dans une véritable démonstration, Gödel s’égare en recourant à des arguments jugés uniquement » dialectiques » (acceptables devant les tribunaux et dans la sphère politique) tels que la reductio ad absurdum ou en allant même jusqu’à utiliser un argument purement » rhétorique » (acceptable uniquement dans la conversation courante) tel qu’une proposition affirmant à propos d’elle-même qu’elle est indémontrable, n’ayant pour soutenir cette affirmation aucune autre preuve que sa » propre » parole, l’équivalent dans une conversation courante de » C’est vrai parce que je te le dis « . On insiste souvent sur le fait qu’il y a ici une faiblesse dans la démonstration de Gödel parce que l’affirmation est auto-référentielle, mais le fond du problème est plutôt qu’elle est sans justification.
Ce qui nous amène à la notion confuse de vérité de Gödel. Gödel dit d’une proposition particulière qu’elle est vraie bien qu’elle ne soit pas prouvable. Ce qui signifie qu’elle est vraie pour l’une des deux raisons possibles restantes : qu’elle est un axiome (l’équivalent mathématique d’une définition) ou qu’elle dérive de l’évidence des sens, vérification faite qu’il ne s’agit pas d’une illusion perceptive. Comme le contexte de la démonstration exclut la possibilité que la proposition en question soit un axiome caché ou non reconnu, la seule option restante est que sa vérité découle de l’évidence des sens. Mais cela aurait pour conséquence immédiate que la proposition en question se réfère au monde sensible (empirique) dont elle est un compte rendu véridique et appartient donc au domaine de la physique plutôt qu’à celui des mathématiques.
Comment est-il possible que Gödel n’ait pas remarqué dans son raisonnement une telle confusion entre mathématiques et physique ? Parce qu’il confondait les deux : Gödel était un platonicien par idéologie, croyant que le monde est fait de nombres et que, par conséquent, tout ce que nous connaissons dans le monde par l’évidence des sens peut également être prouvé mathématiquement. Bertrand Russell a dit de lui : « Gödel s’est avéré être un platonicien pur et dur, et croyait apparemment qu’un ‘non’ éternel était inscrit au ciel, où les logiciens vertueux pouvaient espérer le rencontrer par la suite » (cité dans l’autobiographie de Russell, dans John W. Dawson » Kurt Gödel in Sharper Focus « , S. G. Shanker, Gödel’s Theorem in Focus, London : Croom Helm 1988 : 8).
Nous affirmons ici qu’une démonstration mathématique digne de ce nom n’a pas le droit d’importer subrepticement des arguments basés sur des preuves empruntées à la physique.
Dans leur ouvrage Gödel. A life of Logic, Casti & DePauli, trahissent involontairement leur malaise à cet égard lorsqu’ils écrivent : « Ce que Gödel a découvert, c’est que même s’il existe des relations vraies entre des nombres purs, les méthodes de la logique déductive sont tout simplement trop faibles pour que nous puissions prouver tous ces faits. En d’autres termes, la vérité couvre davantage que la preuve. Ce fait ne semble pas trop étonnant lorsqu’on le replace dans le contexte de la vie quotidienne. Nous sommes tous conscients de choses que nous « savons », mais qui, selon nous, ne peuvent jamais être déduites logiquement de manière formelle, à la manière d’Aristote. En fait, le prof et philosophe d’Oxford J. L. Austin, lorsqu’il a été informé pour la première fois du résultat de Gödel, a fait la remarque suivante : » Qui aurait pu penser autrement ? » Il semble probable que l’homme de la rue dirait la même chose si quelqu’un annonçait que tout ce qui est vrai ne peut être connu en suivant un processus de déduction logique. Mais ce n’est pas le cas des mathématiciens ! « (ibid., pp. 4-5). Ils auraient dû écrire plus précisément » Mais pas pour les mathématiciens platoniciens » qui croient que les mathématiques et la physique sont une seule et même chose, ou du moins ne voient pas la différence.
Que le nœud du problème réside dans l’engagement idéologique platonicien de Gödel, Casti et DePauli le rendent encore plus clair, même si c’est involontairement, dans un passage où ils tentent de clarifier le propos de Gödel avec une illustration mettant en scène des gâteaux au chocolat :
« Vérités = tous les gâteaux concevables qui satisfont au test du gâteau au chocolat.
Preuves = toutes les recettes pour faire réellement des gâteaux au chocolat avec la Machine à Gâteaux au Chocolat.Vient maintenant la grande question : Existe-t-il une recette pour chaque gâteau au chocolat imaginable ? Ou, de manière équivalente, toute affirmation vraie est-elle prouvable ? Ce que nous demandons ici, c’est s’il existe d’honnêtes gâteaux au chocolat dans l’univers platonicien des gâteaux pour lesquels aucune recette ne peut être donnée » (ibid. 19-20).
« Dans l’univers platonicien… », on ne pouvait mieux dire : la démonstration de Gödel n’a de sens et n’est significative que sur la scène d’un théâtre où la confusion est entière entre deux représentations : celle du monde sensible dont rend compte la physique et celle du monde des entités mathématiques, outils que nous avons imaginés pour offrir une vision stylisée du monde sensible.
Attendre la publication de l’article svp avant de citer tout ou partie de cette « version courte ».
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