Blog de Paul Jorion

Billet invité.

En tant que mathématicien de formation (à la base), j’ai été absolument ravi d’écouter « Le temps qu’il fait » de ce dernier vendredi (1^er Février 2013) : enfin quelqu’un qui ose appeler un chat un chat !

J’ai probablement moins lu de livres de- ou sur- les mathématiques que Paul Jorion, mais j’en ai tout de même lu une quantité respectable et, parmi eux, beaucoup d’ouvrages sur l’histoire de la discipline, ce qui me conduit à être parfaitement d’accord sur sa conclusion : que la modélisation mathématique échoue à représenter le réel beaucoup plus souvent qu’elle n’y réussit. Nous sommes malheureusement très peu nombreux à penser ainsi, et surtout à pratiquer ainsi.

La foi accordée aux mathématiques est extraordinaire (y compris, mais pas seulement, parmi les « matheux »). Et pourtant, même sur le plan mathématique (je pense à Gödel, Turing, Church, Herbrand, etc.), il est connu depuis bientôt un siècle que « ça ne marche pas ». Durant l’entre-deux guerres, ces mathématiciens éminents ont mis en évidence les limites de la « science mathématique ».

Peine perdue, la majorité continue de croire que les « modèles mathématiques » se confondent avec ce qu’ils tentent de modéliser. Ni « Platoniciens », ni « Pythagoriciens », n’y parviennent bien entendu : un « modèle » est au mieux une représentation approximative (plus ou moins grossière) de la « réalité » (quoi que ce dernier mot veuille dire).

Confondre la carte et le territoire conduit à la catastrophe. La « science » économique en est le parfait exemple : les illustrations y fourmillent.

Je voudrais en toucher un mot au titre d’ancien prof de maths en Collège, ayant donc eu affaire à des enfants relativement jeunes, disons 11 ans en 6^ème. Comme il est difficile de faire comprendre cela à ces enfants : ils sont déjà formatés par le système – sans parler de leurs parents !

J’ai souvent utilisé cette parabole : « Imaginons un camion de 5 tonnes, qui transporte une petite voiture de 500 kg. Il est conduit par une jeune femme d’environ 50 kg qui a, à côté d’elle, sur le siège passager, une mallette qui avec son contenu doit bien faire 5 kg. Mais elle a bon appétit : ce midi elle a bien pris 500 g de déjeuner, qu’elle a terminé par un grand café de, disons 50 g, dans lequel elle a mis un sucre, soit 5 g de plus. »

J’écrivais bien entendu, les chiffres au tableau au fur et à mesure. Puis je demandais aux enfants de déconstruire la chose : dans ce nombre résultant de 5.555.555 g, quel ou quels 5 ont-ils réellement de l’importance ? (pour passer par exemple sur un pont de poids limité à 5 tonnes). Eh bien, c’était laborieux : les mômes avaient très peur qu’une part quelconque de l’information ne se perde !

Et quand j’en arrivais à leur faire comprendre que seul le premier 5, ou à la limite le second, a de l’importance, je suis sûr d’avoir laissé bien des incrédules derrière moi ! Le plus grave, c’est que faisant cela, j’appliquais le programme : lLa notion « d’ordre de grandeur » est dans les objectifs officiels ! Mais ce n’est qu’une goutte d’eau dans un océan de certitudes. Il faut voir les enfants recopier sans réfléchir tous les chiffres que leur a fourni leur calculette dans une simple division, pour le réaliser.

Je donne cet exemple, pour montrer qu’il n’est même pas nécessaire d’invoquer les nombres irrationnels qu’a mentionnés Paul Jorion dans sa vidéo, ou les nombres transcendants : un simple nombre entier y suffit. L’approximation est la norme en mathématique : dans ma parabole, le camion pèse un peu plus de 5 tonnes et c’est tout, et il est clair que ce n’est pas le fait d’avoir mis un sucre dans son café qui y change quelque chose.

Prenons un des tout premiers irrationnels découverts : racine de 2. On peut développer à l’infini son écriture : 1,41421356…, mais cela ne présente aucun intérêt ! Neuf fois sur dix, dire 1,4 suffit amplement. Prenons maintenant le plus célèbre des nombres transcendants : Ï€. Même chose, on peut calculer des milliards de décimales de ce nombre : aucun intérêt. J’avais l’habitude de dire à mes élèves : « Ï€ c’est 3 et un chouïa ». Exemple concret : ma roue de vélo fait 60 cm de diamètre, si je fais un tour de roue, de combien aurai-je avancé ? Réponse : d’un peu plus de 1,80 mètres, disons 1,90 m, et certainement pas de 1,884955591… mètres. Si vous êtes en train de fabriquer un moteur de cyclo, un millimètre de précision est largement suffisant, pour une auto, disons un 10^ème de millimètre, pour une Formule 1, il vaut mieux y aller au 100^ème (vu le régime du moteur), mais si vous fabriquez une fusée, là il faut descendre au micromètre au moins. (*)

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(*) Remarque de P.J. : Dans le livre de G.-Th. Guilbaud que je mentionne dans ma vidéo : Leçons d’à peu près (Bourgois 1985), il écrivait à propos de Ï€ : « Trois quatorze ? ou Trois quatorze seize ? – Réponse du plombier-chauffagiste : « Ça dépend de la nature du métal ! » » (p. 23).

Guilbaud né en 1912, est mort en 2008.