Blog de Paul Jorion

Billet invité.

PARADOXE DES JUMEAUX ET ACCELERATION DES REFERENTIELS

A ceux qui ont été intéressé par le texte décrivant la possibilité d’une dilatation physique du temps associée à une contraction physique des longueurs, je propose ce texte qui devrait (peut être) permettre d’en expliquer la cause. Ce texte publié le 19/06/2009 sous le nom Revoir la relativité restreinte qui, bien que défaillant sur la forme qui sera reprise plus tard après avoir reçu le maximum de critiques de votre part, est suffisant pour comprendre le fond du problème.

J’ai réarrangé différents passages pris dans différentes contributions, afin d’en extraire le fils conducteur et vous fournir une vision qui sera plus claire je l’espère de la suite à donner à ce texte pour vérifier la pertinence du modèle de contraction physique des longueurs des référentiels associés à un objet quelconque lorsque celui-ci est accéléré pour passer de l’arrêt à la vitesse V.

On se penche sur le paradoxe des jumeaux de Langevin.

Pendant tout le voyage à vitesse constante, le sédentaire voit le voyageur vieillir moins vite que lui, et le voyageur voit le sédentaire vieillir moins vite que lui. Lorsqu’ils se retrouvent sur terre, on observe que celui qui a voyagé est plus jeune que celui qui est resté sur terre. Si le voyage a duré 50 ans et que le facteur de dilatation et de 10, lorsque le voyageur revient sur terre, il s’aperçoit qu’il s’est passé 500 ans sur terre et que son frère est mort.

En conclut-il que la mort de son jumeau est purement observationnelle, ou qu’il est physiquement mort ?

Pour ma part, je choisis la deuxième option.

Il semblerait qu’Einstein partageait mon avis, puisque pour résoudre ce paradoxe, il disait que la symétrie relativiste (de la relativité restreinte) était brisée pendant la phase de demi-tour. Le jumeau voyageur avait ressenti l’accélération lié au demi-tour (il s’était senti plaqué sur son siège, ou plus lourd), le sédentaire ne l’avait pas ressenti (il ne s’était senti plaqué sur son siège ou plus lourd à aucun moment), ce qui expliquait que le voyageur revenait physiquement plus jeune que le sédentaire.
Ainsi, même pour Einstein (dont pourtant je ne partage pas certaines idées), la différence d’âge qui était purement observationnelle durant le voyage à vitesse constante devenait physique lorsque les jumeaux se retrouvaient en raison de l’accélération subie par le voyageur.

Ce qui est vrai pour la dilatation du temps (d’après Einstein) doit être vrai pour la contraction des longueurs.

Si l’accélération a rendu physiquement le voyageur plus jeune que le sédentaire, on doit pouvoir en conclure que l’accélération a physiquement contracté le segment. Ainsi, si un observateur du référentiel fixe observe que le segment est contracté par l’accélération, il en conclu que la contraction est de nature physique (il voit le segment accéléré et il ne ressent aucune accélération. Il en conclut que c’est le segment qui est accéléré et non lui même). L’observateur du segment quant à lui voit le référentiel fixe aller de plus en plus vite comme si celui-ci était accéléré, mais puisqu’il ressent l’accélération, il en conclu que c’est lui qui est accéléré et non le référentiel fixe, et que la contraction observé du référentiel fixe n’est qu’observationnelle. Ceci est vrai uniquement si la valeur mesurée entre les deux référentiels correspond à la valeur ressentie dans son référentiel. Sinon, les deux possèdent une accélération : Son accélération propre étant l’accélération ressentie, l’accélération de l’autre référentiel correspondant à la différence entre l’accélération mesurée entre les deux référentiels et l’accélération ressentie dans son propre référentiel.

Dans l’expérience suivante, c’est le segment qui joue le rôle du voyageur, et le référentiel fixe qui joue le rôle du sédentaire.

On veut accélérer un segment AB pour le faire passer de l’arrêt à la vitesse V. Pour cela, on lui fournit une accélération orienté de A vers B, accélération que l’on veut conforme à l’équivalence entre accélération et gravitation..

On note que dans l’expérience de pensée de l’ascenseur d’Einstein qui lui à fait pressentir la courbure de l’univers, les rayons lumineux arrivent perpendiculairement à l’ascenseur (lorsque l’ascenseur est à l’arrêt) et sont courbés vers le sol lorsque l’ascenseur est accéléré. Einstein en a conclu qu’il devait se passer la même chose lorsque la lumière circulait dans un champ gravitationnel, et cela a été observé de nombreuses fois depuis. En revanche, les rayons qui arrivent perpendiculairement à l’ascenseur (lorsque celui-ci est à l’arrêt) mais sous le plancher de l’ascenseur ne tombent pas vers le sol lorsqu’on accélère l’ascenseur mais s’en éloignent. On ne peut donc pas utiliser l’équivalence entre accélération lorsque les rayons arrivent sous le plancher, et donc pour les X négatifs.
C’est pour cette raison que l’on ne considèrera que le signal allant de A à B (dans le sens des X positifs) et non de B à A (dans les sens des X négatifs) pour transmettre l’accélération aux différents points du segment à la vitesse à laquelle est transmise la gravitation, c’est-à-dire à la vitesse C.

On sait qu’avant l’accélération tous les points du segment vont à la même vitesse.
On sait qu’après l’accélération tous les points du segment vont à la même vitesse.
On utilise l’équivalence entre accélération et gravitation qui implique que le début de l’accélération et la fin de l’accélération soient transmises du point A à B à la vitesse de la lumière.
Pendant toute la durée d’accélération, le signal se déplaçant à la vitesse de la lumière et transmettant l’accélération de A à B ne “voit” que le point où il se trouve. Lorsqu’il part du point A, A possède une vitesse Ve quelconque et est accéléré pour attendre la vitesse Ve + ε. Tant que le signal n’a pas atteint le point B, celui-ci ne se déplace pas encore à la vitesse Ve, mais le signal n’en “sait” rien. Lorsque le signal atteint B celui-ci a enfin atteint la vitesse Ve et il est accéléré pour atteindre la vitesse Ve + ε. Pour le signal, lors de son parcours de A à B, la totalité des points, donc du segment se déplacent à la vitesse Ve. On peut donc appliquer les équations de Lorentz au référentiel lié au segment lorsqu’il reçoit le signal de fin d’accélération.
On sait que le temps s’écoule plus lentement dans un référentiel se déplaçant à la vitesse V que dans le même référentiel à l’arrêt.
On sait que le temps de parcours de la lumière le long du segment pour transmettre le début et la fin de l’accélération dépend de la vitesse d’écoulement du temps dans le référentiel lié au segment.
On sait que si deux corps ont été accélérés pendant un temps différent pour passer de l’arrêt à la vitesse V, celui qui a été accéléré plus longtemps a reçu une accélération plus faible.

On va maintenant chercher à vérifier la cohérence du modèle proposé, et c’est là que j’aurais besoin des compétences de mathématiciens.

On note les accélérations subies par les point A et B pour passer de la vitesse nulle à la vitesse V, respectivement aA et aB dans le référentiel fixe et a’A et a’B dans le référentiel mobile On appelle Xo la longueur du segment AB à l’arrêt.
On appelle dA et dB les distances parcourues par les point A et B pendant leurs phases d’accélération pour passer de l’arrêt à la vitesse V
Le temps que met le signal de fin d’accélération pour parcourir le segment contracté et pendant lequel le point A se déplace à vitesse constante est γ ([Xo/C]+ VXo/C^2 )

On a donc dA + γ V([Xo/C]+ VXo/C^2 )+ Xo γ^-1 = Xo +dB

Si l’on veut utiliser l’équivalence entre l’accélération et la gravitation, c’est a’A et a’B qui doivent être constante. Or, l’équation liant l’accélération mesurée dans le référentiel fixe à celle mesuré dans le référentiel mobile est de la forme :
a = dV/dT = (dV/dT’)/ (dT/dT’) = a’ (γ [1+ VeV’/C^2])^-3.
Avec V’ la vitesse du point accéléré par rapport au référentiel se déplaçant à la vitesse Ve ; V = (Ve+V’)/(1+VeV’/C^2) ; T = γ (T’+X’Ve/C^2) et γ = (1-(Ve/C)^2)^-1/2

On a vu que pour le signal se déplaçant à la vitesse C, le référentiel lié au segment se déplaçait à la vitesse constante Ve pendant tout le temps du trajet pour aller de A à B, mais que pendant ce temps là, la vitesse V’ du point A par rapport à ce référentiel continuait à progresser (tant que A n’a pas atteint la vitesse V.) pour devenir la nouvelle vitesse du référentiel galiléen dans lequel se déplace le signal.

Pour calculer la distance dA, il va falloir intégrer deux fois a par rapport au temps, en tenant compte du fait que a varie en fonction de la vitesse, c’est-à-dire en fonction du temps, avec Ve changeant de moins en moins rapidement au fur et à mesure qu’on se rapproche de la vitesse de la lumière. Une fois qu’on aura déterminé dA et dB, on calculera aB en fonction de aA, et ceci fait, a’B en fonction de a’A.

Enfin, il faudra vérifier que le rapport entre a’B et a’A varie comme le champ gravitationnel équivalent mesuré en A et B, c’est-à-dire comme le carré de la distance.
Pour cela, il suffit de trouver pour quelle distance Xo, a’B = a’A/4 et montrer que pour une distance égale à 2Xo, alors a’B = a’A/9

On peut s’aider de l’équation suivante
On pose TA et TB étant respectivement les temps d’accélération de A et B pour passer de l’arrêt à la vitesse V.
On a : TA + γ ([Xo/C]+ VXo/C^2 ) = TB + Xo/C

Xo/C est le temps que met le signal pour transmettre le début d’accélération de A à B lorsqu’ils sont à l’arrêt
γ ([Xo/C]+ VXo/C^2 ) est le temps que met le signal à transmettre la fin d’accélération de A à B lorsqu’ils se déplacent à la vitesse V

J’espère que vous avez compris le principe, que les distance dA et dB sont calculables, et qu’il y a parmi vous des gens capables de les calculer, ou connaissant des gens capable de le faire. Pour ma part, je n’en suis pas capable et ne connaît personne qui pourrait le faire à ma place.

Au cas, ou suivant ce modèle on ne trouverait pas que les a’ varient comme le carré de la distance il pourrait être intéressant de considérer que l’accélération est transmise par impulsion constante (vu du référentiel mobile, la trajectoire entre chaque impulsion se faisant à vitesse constante. A voir, donc.

J’espère n’avoir rien oublié dans les explications, et que je vais trouver sur ce blog les compétences qui me manquent.