Ce texte est un « article presslib’ » (*)
C’est Aristote qui fixa la norme en matière de démonstration, distinguant trois familles de discours selon le statut de leurs prémisses pour ce qui touche à la vérité. La plus rigoureuse des trois est l’analytique dont les prémisses doivent être reconnues comme indiscutablement vraies, suivie de la dialectique dont les prémisses sont seulement « probables » : vraisemblables plutôt que vraies, et enfin de la rhétorique qui ne connaît pas de contraintes quant à la qualité des prémisses : le discours de fiction, par exemple, en relève. À l’intérieur même de chacune de ces trois familles, le Stagirite distingua les types d’argumentation utilisés en fonction de leur valeur probante.
Seule l’analytique relève de la science et c’est donc elle qui devrait seule présider à la démonstration mathématique. Or, durant les Temps Modernes d’abord et durant les Temps Contemporains ensuite, les mathématiciens recoururent toujours davantage dans la démonstration aux types d’argumentation les plus faibles quant à la valeur probante. On pourrait lire là sans doute le signe d’une simple décadence dans la manière dont les mathématiciens démontrent leurs théorèmes. Cette lecture n’est pas fausse mais demeure insuffisante parce qu’elle ignore le glissement « idéologique » qui rend compte du comment et du pourquoi de cette évolution. Ce glissement reflète en fait la conviction croissante des mathématiciens que leur tâche ne s’assimile pas à un processus d’invention mais à une authentique découverte, autrement dit, que leur tâche n’est pas de contribuer à la mise au point d’un outil mais de participer à l’exploration d’un monde. Si l’on souscrit à ce point de vue, la distinction se brouille entre la science, dont l’ambition est de décrire le monde de la Réalité-objective, et les mathématiques qui lui offrent le moyen de réaliser cette ambition. Et cette absence de distinction suppose à son tour, non seulement que la Réalité-objective est constituée des nombres et des relations que les objets mathématiques entretiennent entre eux, mais encore que la réalité ultime inconnaissable, l’Être-donné de la philosophie, est la source d’un tel codage. Or une telle conviction est avérée historiquement et, comme on le sait, caractérisa les disciples de Pythagore, au rang desquels se comptait Platon.
Si le mathématicien est un découvreur et non un inventeur, alors la manière dont il inculque la preuve importe peu puisqu’il décrit en réalité un monde spécifique, celui des nombres et de leurs relations, et peut se contenter d’en faire ressortir les qualités par une méthode apparentée à la méthode expérimentale : circonscrire une réalité et utiliser tous les moyens dont on dispose pour faire émerger une appréhension intuitive de ce qu’elle est ; dans cette perspective, seul compte le résultat, quelle que soit la manière dont on s’y est pris. Dans la démonstration du « second théorème » de Gödel, à l’aide duquel il prouve l’incomplétude de l’arithmétique, la faible valeur probante de certaines parties de sa démonstration n’est pas pertinente à ses yeux puisque sa tâche consiste selon lui à décrire un objet existant en soi. Ne se concevant nullement comme l’inventeur de mathématiques nouvelles mais comme un explorateur de l’univers des nombres et de leurs proportions singulières, il n’a que faire d’une méthodologie dont la rigueur seule garantirait le résultat auquel il aboutit.
Les points de vue des mathématiciens réalistes qui se conçoivent comme découvreurs et des mathématiciens antiréalistes qui s’imaginent inventeurs, peuvent être réconciliés si l’on offre de leur activité à tous une définition opérationnelle qui y voit la génération d’un produit culturel, c’est–à–dire relevant de la manière propre dont notre espèce offre une extension aux processus naturels. Ce produit culturel que les mathématiciens génèrent est une « physique virtuelle » permettant la modélisation du monde sensible de l’Existence-empirique en vue de sa prévisibilité à nos yeux. Cette physique virtuelle n’est ni contrainte de s’astreindre à la rigueur irréprochable des modes de preuve les plus exigeants aux yeux de la logique, ni ne doit s’imaginer décrire une Réalité-objective constituée d’essences mathématiques. La mise au point du calcul différentiel en offrit une illustration lumineuse.
(*) Un « article presslib’ » est libre de reproduction en tout ou en partie à condition que le présent alinéa soit reproduit à sa suite. Paul Jorion est un « journaliste presslib’ » qui vit exclusivement de ses droits d’auteurs et de vos contributions. Il pourra continuer d’écrire comme il le fait aujourd’hui tant que vous l’y aiderez. Votre soutien peut s’exprimer ici.
54 réponses à “Que font les mathématiciens ?”
Difficile de répondre à une question aussi générale et apparemment « quantitative » (« les » « mathématiciens ») …
Question encore plus difficile : que font les « épistémologues » ?
Plus « qualitativement », et pour répondre par un exemple, il est possible de citer un biologiste, qui se penche sur la « morphogénèse »,
dans la tradition d’un Darcy-Thomson, et qui fait remonter « la crise » à 1,7 million d’année. ( quand la surface du neo-cortex s’est mise à croître de façon exponentielle). Sa question principale, me semble-t-il, à la frontière de gènétique, épigénétique …et maths concerne la « plasticité neuronale ». Intéressant non ?
cette modelisation de l’existence empirique semble très féconde.
De meme existe t il un domaine des mathématiques qui aborde la Logique, de façon plus conforme a l’ expérience que nous en avons tous les jours ?
Nous sentons bien que la logique d’ Aristote est inefficace pour biens des domaines incluant les sciences humaines mais aussi certaines sciences dites « dures ». Cette logique est bivalente, elle suppose qu’ une proposition decidable, est soit vraie soit fausse. Cette bivalence ne correspond que rarement a ce que nous expérimentons tous les jours (proposition vraie dans un certain cadre ou espace, et fausse en dehors du cadre ou espace consideré) . Le domaine spirituel echappe particulierement a cette logique Aristotélicienne.
On peut ainsi imaginer que les mathématiciens aient creusé ce problème pour fournir une logique plus conforme a l’ expérience (logique floue ? « Chromatique » ?) .
On peut rêver a une logique tetravalente : vrai, vrai en dehors de l’ espace, faux, « existant autrement » .
Ci cette logique existait et était enseignée des l’ enfance, bien des oppositions et conflits apparents, dus a une mauvaise comprehension, seraient balayés…
C’est une question aussi vieille que la philo : est-ce-que les mathématiques existent indépendamment de l’esprit de l’homme, ou bien sont elles un pur produit des neurones ?
Bien que la question soit à mon avis tranchée par les découvertes récentes de la physique, le mathématicien ne se pose pas cette question. D’une intuition fulgurante il crée des êtres de pensée pure, abstraction d’une partie de l’Univers, qu’un jour d’autres savant cherchant à modéliser et comprendre le fonctionnement du monde utiliseront. L’Univers n’est pas soluble dans les mathématiques, mais ces dernières autorisent la pénétration du réel, même imperceptible, sans même le chercher. En un mot comme en cent : les maths font partie du Tout, mais Tout n’est pas dans les maths, on ne trouvera jamais l’équation de Dieu.
Quand à savoir s’il s’agit d’une aptitude naturelle, observons : les êtres mathématiques existent chez d’autres espèces, de la toile de l’araignée à la coquille du nautile en passant par les subtil arrangement de la ruche, la nature vivante est optimisé suivant des modèles ingénieux – si parfaits que certains leur imaginent un sens général.
Aujourd’hui, 98 % des mathématiciens sont platoniciens sans même y penser… dans les années vingt, les débats étaient plus vifs, Brouwer écrivait « There are eminent scholars on both sides and the chance of reaching an agreement within a finite period is practically excluded ».
Si vous annoncez, cette fois, « la fin du platonisme », et bien on va s’amuser ..
– 1 mesurer !
– 2 décrire !
– 3 prévoir ?
C’est 3 qui merde.
Je répondrais bêtement que les mathématiciens sont …. devant le tableau noir à pondre des équations…. Ce qui ne nous avance pas beaucoup ? Si justement.
Les mathématiques sont un langage crée et utilisé par une population (une ethnie) les matheux pour inventer des objets mathématiques. Et c’est bien ce qu’il faut disjoindre. Le langage et l’ethnie. Chacun de ces domaines de la culture ne peuvent être objet de science que si on évite de les mélanger. Dés lors découvrir la réalité objective du réel est mission impossible pour le mathématicien.
Comme pour tout être humain et toute science ou discipline qui se veut science. La seule réalité ( découverte ou inventée peu importe ce détail rhétorique) des maths est celle inventée avec ce langage par les humains de l’ethnie matheux. Que ces inventions (vraies dans leur seul domaine des maths) soient utilisées dans d’autres sciences ne peut préjuger de la véracité des résultats de la science qui utilise les maths comme outil.
La vérité d’une science n’est pas dans les outils qu’elle utilise, car ceux-ci ne sont que partie du dispositif mis en place pour inventer les objets de cette science.
Les objets mathématiques inventés par l’ethnie des matheux sont fabriqués avec l’outil qu’est dans ce processus de fabrication le langage mathématique. Il faut toujours bien séparer ce qui est langage, ce qui est outil dans l’examen d’une discipline pour éviter la confusion.
De même la valeur des objets crées par une science ne peut être préjugée par la véracité des objets mathématiques. La valeur est du domaine moral, éthique. Il faut disjoindre la valeur du langage mais aussi de l’outil et de l’ethnie.
Les inventeurs de l’énergie atomique ne sont pas responsables de l’utilisation de cette énergie par des groupes sociaux pour détruire d’autres groupes sociaux, au mépris de la valeur de l’humain. Pas plus que les matheux ayant fabriqué les équations utilisées.
Evidemment dans la vie de tous les jours, c’est aspects (langage, fabrication, ethnie, valeur) sont présents et agis par tout un chacun, dans chaque culture spécifique.
On ne peut demander au matheux des solutions aux problèmes actuels des marchés même si ce sont des objets mathématiques qui sont utilisés par l’ethnie des financiers pour créer des objets financiers dont la vérité financière n’a jamais été démontrée. Utiliser la véracité mathématique dans le domaine financier est une faute grave, car cela n’a aucun rapport avec la vérité des objets financiers. Cette confusion langage, fabrication, ethnie, valeur empêche pour l’instant toute science humaine d’être une science qui ne peut prouver qu’à l’intérieur de son propre domaine, la véracité de ses propres objets avec son propre langage.
@ LeSurHumain
merci pour l’explication de la crise pour les nuls, je suis rassuré car dans la buvette où je me rends régulièrement il y a une affiche « la maison ne fait pas crédit », peut-être à cause du credit-crunch.
Pour ce qui concerne les maths en finance on est dans le domaines des mathématiques appliquées, plus proche de la science de l’ingénieur que de la science pure : les traders font tourner des modèles,
1/ Il n’y a pas que deux courants… platonicien et/ou constructiviste, ne serait ce que parce-que la question épistémologique ne se résout que partiellement dans la question ontologique. Il y a d’autres lignes de fracture, toutes aussi pertinentes, que celle que vous évoquez. Et pourquoi n’évoquer que celle là? J’avoue ne pas avoir bien compris l’objet du billet…
2/ On ne devrait pas dire « les » mathématiques mais « la » mathématique.
3/ On sait depuis les travaux de Godel et d’un éminent logicien russe qu’en dernière alternative la LOGIQUE et la MATHEMATIQUE sont 2 disciplines distinctes, séparées à jamais. Il est impossible de les réunir en un seul tenant.
4/ Le vrai danger c’est la substitution de la « simulation par des modèles » à l’art de la démonstration. C’est un procédé de plus en plus utilisé et c’est une catastrophe. Un modèle étant considéré comme d’autant plus vrai que le produit de son exercice correspond davantage à (l’idée que nous nous faisons) de la réalité. La vérité elle même devient une fonction de probabilité voire pire d’ajustement. C’est le contraire de « l’enquête ».
Ce genre de délire a eu des implications gravissimes dans le domaine médical.
J’ose dire qu’on voit aussi ce que ca donne en éco-fi… de grands modèles économétriques qu’on fait tourner, complètement détachés de la réalité qu’ils prétendent décrire! Des simus qui ne servent à rien (des fictions auto-réalisantes qui plus est!!!).
5/ Marrant cette discussion sur la mathématique.
Mais en terme d influence sur la manière que nous avons de comprendre le monde et de nous comprendre nous même (forcément), elle est progressivement débordée après le XVIIe (Platon, Descartes) par la Physique (philosophie de Kant) puis tout récemment par la Biologie (philosophie de Bergson). Evidemment c’est plus compliqué que ça mais c’est pour situe en gros.
Je pense en particulier au problème abyssal que pose la question de l’existence ou non d’une « finalité » à l’oeuvre dans la « nature » (dans les « systèmes » vivants, en bio mol au niveau cellulaire, avec des implications en matière de compréhension du « systeme » immunitaie…), dotée d’implications théologiques, politiques, morales génantes pour une certaine tradition prétendûment rationaliste…
Peut être ce déplacement tient-il au fait que le point d’archimède dans cette auto-compréhension du monde et de nous même s’est déplacé de ce qui était jugé le plus certain, le plus sûr (par exemple les propriétés des objets logiques, mathématiques, qu’ils soient construits ou découverts) vers ce qui est jugé le plus important (la distinction matière inerte/vie).
Les mathématiques ne constituent plus (à tort? je n’en suis pas persuadé) un enjeu central pour la métaphysique. Le pôle d’affrontement s’est déplacé (du reste il n’y avait aucune raison pour que les mathématiques conservent cette place privilégiée…) Ni les indiens ni les chinois par exemple n’ont jamais accordé une telle importance métaphysique à la question du statut ontologique des « objets » mathématiques (pour ne rien dire, à l’intérieur de la tradition abrahamique, de tout ceux qui ont pensé cru ou pensent/croient que Dieu peut parfaitement faire que 2+2 ne fasse pas 4).
Les philosophes à l’époque d’Aristote étaient tous mathématiciens…(nul n’entre ici s’il n’est géomètre).
La première question à la quelle il s’agissait de répndre ( le boulot de la philo) était pourquoi de l’être et pas du non-être (la fameuse question de l’ontologie).
Antoine écrit :
« Ni les indiens ni les chinois par exemple n’ont jamais accordé une telle importance métaphysique à la question du statut ontologique des “objets” mathématiques. »
Peut-être doit-on attribuait cela à la proposition originelle de la philo : non-être DIFFERENT de l’être ( pardon mais je ne sais pas comment l’écrire au clavier sous forme logique, un égal barré).
De ce que j’ai lu et compris ( peut-être à tort…), la tradition orientale elle postule que non-être = être, au sens où il ne s’agit pas différence essentielle mais de complémentarité.
Là où les occidentaux n’envisage qu’une opposition indépassable (cf : histoire de la philo et le recours par platon du monde des idées ou les notions de puissance et acte chez Aristote pour pouvoir penser le changement, révolution copernicienne chez kant etc…). Les orientaux eux ne voient que l’expression différente de la même chose !
Bon, ce n’est pas très bien exprimé…pardon…mais cette distinction me paraît fondamentale…
Ainsi un exemple concret dans la médecine :
Pour un chinois, un bon médecin est celui qui vous permet d’être en bonne santé. Si vous êtes malade, c’est que votre médecin est NUL ! il n’a pas bien fait son boulot !
En Europe, le médecin vous soigne quand vous êtes malade….et sera un bon médecin s’il vous a guéri….
bonne journée à tous !
Ce qui est étonnant, c’est le fait que certains objets mathématiques ont été déduits de manière interne au champ des mathématiques longtemps avant que les physiciens s’en emparent pour expliquer les phénomènes et pour rendre compte de la réalité physique, un peu comme si ces objets attendaient là leur emploi. Par exemple, les groupes de Lie ou des structures toplogiques comme celle de Kaluza-Klein ont anticipé de plus d’un demi-siècle la théorie cordes censée unifiée les quatre grandes forces de l’univers. On ne peut pas s’empêcher d’être un peu platonicien quand on apprend ça. Le prix Nobel de physique Steven Weinberg donne d’autres exemples dans son livre « Le rêve d’une théorie ultime » (Odile Jacob).
J’ai dit une connerie. Vérification faite dans l’ouvrage de Brian Greene sur la théorie des cordes, ls structures topologiques ayant un nombre élevé de dimensions sont appelées variétés de Calabi-Yau (Kaluza-Klein est une hypothèse physique sur les dimensions supérieues à 4). Bref, ce que je voulais dire, c’est que la découverte de ces structures a précédé la théorie physique qui les a en quelque sorte redécouvertes.
Vous auruez pu parler du calcul tensoriel qu’Einstein ignorait, mais lui rendit service pour la R.G.
Paul,
Mes circuits neuronaux sont trop peu interconnectés pour vous suivre dans vos analyses les plus poussées, surtout quand elles s’appuient sur les maths que j’ai toujours détestées même si j’ai dû les maîtriser un peu pour survivre dans la compétition généralisée des études modernes.
Mais quand même, je peux vous dire que dans le domaine de la politique, qui m’est plus familier, la dernière fracture «philosophico-epistémiologique» est bien entre les découvreurs (d’un modèle préexistant qu’il suffirait d’imiter plus ou moins bien pour atteindre le succès ou la Vérité) et les inventeurs (qui pensent que les hommes créent, par essais et erreurs, leur réalité vécue). En philo/religion la fracture est entre transcendance et immanence. En politique (dont l’économie est la branche dominante aujourd’hui), je dirais que la césure est entre idéalistes (qui cherchent le bon modèle, modèle idéal, et que ceux qui n’aiment pas ledit modèle traitent de dogmatistes) et les matérialistes (qui donnent toujours raison au réel et pas aux modèles, aussi désirables soient-ils). Vivrions-nous donc dans une caverne et ne verrions-nous du Grand Vrai que son ombre projetée sur le fond de la grotte par la feu qui brûle devant notre sombre trou? Oui, all, il faut oser remettre Platon en cause…
Les matérialises sont évidemment très minoritaires car il est bien difficile de vivre avec une quête de sens (meaning) qui ne soit pas une recherche de direction (directorship aussi bien que way). Heureusement, les faits sont là pour aider les matérialistes, mais que de temps perdu… J’ai beaucoup de critiques envers Comte-Sponville (surtout depuis 10 ans) mais sa formule de «primat de la matière/primauté de l’esprit» continue à séduire le matérialiste que je suis et qui ne veut pas faire trop de peine aux idéalistes.
@ghostdog
Les orientaux ne disent pas que etre==non-etre mais qu’ils sont 2 phases extremes d’un seul et même MOUVEMENT, lui-même principe de base de TOUT.
@ton vieuxcopainMichel
Vous confirmez par Weinberg ce que je disais dans mon post, le monde mathématique (langage, communauté etc …)
crée ses objets et ces objets existent dans ce monde là, nulle part ailleurs. L’utilisation de ces objets dans la physique ne sert qu’à créer des objets de physique. Un physicien ne verifie pas les théorèmes, un matheu ne vérifie pas une théorie physique, leurs dispositifs de travail respectifs ne sont pas les mêmes. Un matheux peut créer un modèle mathématique rendant compte des résultats (les données) des expériences des physiciens. Le modèle mathématique sera vérifié par les théorèmes et axiomes mathématiques, mais ne peut dire si la théorie physique est vraie ou fausse.
Ce modèle mathématique est une traduction des signaux receuillis dans les expériences. C’est tout.
Exemple de traduction: l’algèbre de boole est une algèbre se proposant de traduire des signaux en expressions mathématiques.
La question etre/non-etre se limite à la philo occidentale fille de la philo grecque. Sortir cette dichotomie de la philo pour l’utiliser ailleurs est possible, mais ne peut pas prouver quoi que ce soit dans le domaine ou elle est utilisée.
Mais le cerveau aussi crée des objets qui n’existent, tels qu’on le croit, en réalité nulle part …
Le réel n’existe pas tel que nous nous le représentons, c’est juste un problème de longueur d’ondes … qui sait d’ailleurs comment est vraiment le réel …
mais, bon, j’enfonce des portes ouvertes 😉
@ AJH
Tout dépend de ce que l’on entend par « exister ». Si c’est relativement à l’homme, ce qui pour lui est réel existe bel et bien.
Encore une fois, je pense que tout dépend du référentiel adopté.
Êtes-vous sûr que ces portes que vous enfoncez sont bien ouvertes ? Et puis d’abord, êtes-vous sûr que ce son bien des portes ? 😉
@ ton vieux copain Michel
ne vous inquiétez pas de votre lapsus : Calabi-Yau et non Kaluza-Klein, tout le monde avait rectifié… 🙂
Pour ceux que ces problématiques intéressent allez lire Bruno Latour. Il a un blog http://www.bruno-latour.fr/
Latour est un constructiviste qui dans le domaine économique regarde en direction de Gabriel Tarde.
1+1=2 c’est de la mathématique bien propre sur elle mais ça n’est pas été vérifié dans de nombreux domaines réels, comme: les actions de 2 personnes coordonnées seraient la somme de leurs actions,
Selon moi, les intérêts composés: c’est déjà du formalisme mathématique camouflant des idéologies sociopolitique et économique,
J’ai été longtemps intrigué par ce théorème d’incomplétude de Gödel dont je suis incapable de vérifier la validité, Mais je suis toujours intéressé à tout ce ce qui touche à la nature réelle de l’intelligence artificielle et de l’intelligence humaine,
J’ai eu un chef de service, médecin, qui admirait les élégantes pirouettes de Gödel, Dans sa pratique médicale il utilisait pour ses méthodes de diagnostic et de traitement, comme la majorité, une bible qu’on appelle Guideness Book: un corpus de recommandations qui permettent surtout aux médecins de discuter de cas diagnostiqués et traités selon des critères « unanimement reconnus », mais que je qualifierais plus volontiers de « unanimement admis par la communauté médicale en général », dans le sel but de faciliter la communication, mais certainement pas de l’enrichir,
Sa conviction, fondée sur la modification productible des comportements induits par l’administration d’une molécule dans un organisme, était que toutes les activités psychiques relevaient simplement de l’activité des neurones, de l’électricité (pour faire simple) et de la chimie, Il faut croire, qu’ancien communiste reconverti au libéralisme, il n’avait en fait conservé de sa période universitaire que le plus dur des théories matérialistes, évacuant même toute notion d’intelligence/ignorance de tout groupe social naturellement constitué,
Voilà le danger du cloisonnement des disciplines des savoirs et aussi de leur manque de confrontation dans les domaines où ils ne se sont pas élaborés,
Je ne peux pas décider s’il existe un savoir et un savoir-faire universels applicables à tous les domaines de la vie humaine et de la vie en société, Mais il y a certainement des abus de généralisation et des tentatives mystificatrices d’unification de savoirs disparates et dont les valeurs sont mal évaluées,
Ceci ne signifie pas un rejet de cette unification, mais leur réévaluation en dehors des champs où ils ont été élaborés,
Correctif:
« Ceci ne signifie pas un rejet de cette unification, mais leur réévaluation en dehors des champs où ils ont été élaborés. »
à corriger par « Ceci ne signifie pas un rejet de cette unification, mais la nécessité de leur réévaluation en dehors des champs où ils ont été élaborés,
Propos et questions de néophyte car je ne suis pas un mathématicien:
En résumé bien sûr.
Dans la logique chinoise, d’après le principe suprême du T’ai Tchi, figure connue, circulaire, où il y a comme deux tétards imbriqués l’un dans l’autre, l’un noir marqué d’un point blanc, l’autre blanc marqué d’un point noir, il y a donc,
pour la logique chinoise (en lecture horizontale) le signe monogramme Yin discontinu – – il représente la dualité, et l’espace de « vide » compris entre les deux traits horizontaux représente l’unité ou Yang. De même le signe monogramme Yang continu ––– il représente l’unité tandis que de part et d’autre de lui est représentée la dualité ou Yin (l’espace est donc ici séparé en deux). Sauf erreur, il n’y a jamais de « séparation » dans la logique chinoise, sinon une dynamique.
Cela devrait encore avoir, car il y en a eu, des conséquences épistémologioques et mathématiques importantes. On avait frôlé ce sujet sur ce blog de Paul lors d’échanges sur la Chine.
D’autre part, je conseil à tous ceux qui seraient intéressés par les questions passionnantes soulevées dans ce présent billet de Paul (une heureuse fois de plus!) de se procurer (peut-être qu’elle est en ligne?) la revue: « Pour la SCIENCE » collection: les Génies de la Sciende, le N° 20 (trimestriel) de: Août 2004 à Novembre 2004, consacré entièrement à Kurt GÖDEL. Un ami polytechnicie physicien et matheu m’a dit que ce N° était excellent, notamment en tant que référence.
Je reproduis (de mémoire) ce qu’il y a sur la couverture comme questions logiques de mathématique, résolues? Pas résolues? Etc! Etc?….:
– Le paradoxe du menteur qui dit: « je mens », s’il avoue qu’il ment n’est « plus » un menteur? Alors que, par définition, il ment?….
– Il est interdit d’interdire
– Qui rase le barbier?
– Existe-t-il une théorie qui décrit toutes les mathématiques?
C’est dans ce N° que j’avais lu cette réflexion rapportée du philosophe Willard Quine (1908-2000) qui avait adopté la devise du philosophe et économiste viennois Otto Neurach: « Nous sommes comme des navigateurs obligés d’entreprendre la réfection de leur navire en pleine mer, sans jamais pouvoir le démonter dans un dock et le reconstruire à patir de meilleurs éléments. ».
Le commentaitre de la revue ajoute: On ne saurait mieux décrire le travail de ces mathématiciens qui tentèrent de fonder les mathématiquess sur une base logique sûre.
Mais, trop néophyte, je ne suis même pas complètement sûr des tenants et aboutissants des points ici touchés par rapport aux questions que soulève ici Paul.
Bien que les mathématiques appliquées, donnent, en principe, satisfaction à ceux qui les utilisent, se surajoutent toujours des questions philosphiques de fond. Certains commentaires de participants au blog, ci-dessus, sont tout à fait intéressants. Mais j’ai comme l’impression que, tout en avançant, ces questions font et feront longtemps l’objet d’ « inventaires » scientifiques, philosophiques, épistémologiques, d’autres encore et spirituels, qui ne se termineront qu’avec l’humanité…. si terminaison il doit y avoir
@Rumbo
Vos exemples ci-dessous:
– Le paradoxe du menteur qui dit: “je mens”, s’il avoue qu’il ment n’est “plus” un menteur? Alors que, par définition, il ment?….
– Il est interdit d’interdire
– Qui rase le barbier?
– Existe-t-il une théorie qui décrit toutes les mathématiques?
Sont d’excellents exemples montrant le mélange des genres. Nulle part en logique il n’y a de menteur, de barbier, d’interdiction etc ….
L’utilisation de la logique dans ces PHRASES, est une faute grave car elle mélange linguistique et logique. Bref ces exemples sont des non-sens. De même on mélange allègrement dans mathématique, l’algèbre, la logique, la géométrie. Lorsqu’à l’école on les apprend ce n’est pas en même temps, ce ne sont pas les mêmes disciplines. Qu’on les utilise ensembles pour résoudre des problèmes est une tout autre histoire.
Dans les exemples que vous donnez on est plus proche du mot d’esprit ou de la poésie que de logique. C’est la linguistique qui peut juger de la véracité de ces phrases pas la logique. La linguistique vous direz que sur le plan grammatical elles sont correctes, que sur le plan rhétorique elles sont incorrectes car elles n’ont pas de sens, et c’est de la projection de la logique sur la grammaire que vous vous dites qu’elles sont logiques. Vous oubliez la part rhétorique qui prouve la fausseté.
Cette caractéristique de logique qui est utilisé dans le lanagage de tous les jours est une fausse preuve de correction linguistique ici, mais ce peut-etre une preuve de correction dans une autre domaine ou cette PHRASE toute faite « mais c’est logique !! » est utilisée.
scaringella dit :
14 novembre 2008 à 15:38
Reste à discriminer entre logique « absolue » et logique « relative », si on peut s’exprimer ainsi sur ces sujets. Car selon le crible des disciplines que vous citez, il y a autant de « traitements » de ces phrases ou propositions que de disciplines? Mais n’est-il pas trop gênant d’augmenter ainsi le nombre de disciplines? Bien que chaque discipline soit parfaitement légitime et « éclairante » chacune dans son « champ » propre? Puisqu’elles ont toutes un « traitement spécialisé ».
Il doit sans doute exister des « êtres » ou des termes mathématiques que recouvrent ces phrases qui, je l’avais bien compris, ne sont que le décor « littéraire », ou les paillettes, de réalités mathématiques probables et dont les enjeux, s’il y en a, sont sûrement identifiés (ou à identifier) par les chercheurs. C’est l’épaisseur de la revue citée par moi qui doit faire son intérêt, plus que son annonce dont je me suis servi ici.
@ Ton vieux copain Michel
John D. Barrow dans Theories of Everything. The Quest for Ultimate Explanation (1990) :
MacKinnon dans Scientific Explanation and Atomic Physics (1982) :
Vos propos sont passionnants. Je n’ai pas votre bagage culturel, mais tout cela m’amène à quelques réflexions « de bon sens », sans doute naïves, que je me permets de vous soumettre.
En premier lieu, Paul dit que « la distinction se brouille entre la science, dont l’ambition est de décrire le monde de la Réalité-objective, et les mathématiques qui lui offrent le moyen de réaliser cette ambition ». L’ambition de la science est de décrire le monde de Réalité-objective, certes, mais n’a-t-elle pas aussi comme ambition, par cette connaissance de la Réalité-objective, de « contrôler » le monde qui devient alors Réalité-soumise ? Les outils mathématiques ne sont-ils pas surtout au service de cette volonté de contrôle ?
En second lieu, ce qu’explique scaringella est très intéressant, mais je ne comprends pas bien à quoi cela nous avance.
Il me parait évident qu’un physicien ne peut pas utiliser des outils mathématiques pour « prouver » une réalité objective. Celui-ci sait très bien qu’il n’aura qu’une modélisation, qui s’approche d’une certaine réalité, mais dans la limite du modèle. Cette connaissance modélisée, imparfaite, de la réalité objective permet toutefois le développement de contrôles, calculés selon le modèle établi, contrôles qui amènent eux des changements appliqués au monde Réel-objectif.
L’invention de nouveaux outils, mathématiques ou procédés de mesures, permet de faire progresser les modèles, et donc améliorer le contrôle. Ensuite, la découverte de nouveaux outils peut amener à la découverte de nouveaux champs de la réalité-objective. Toutes les sciences sont en synergie et s’alimentent mutuellement, sans pour autant avoir de « preuve » formelle d’une quelconque réalité.
Les découvertes mathématiques sur les fractales et la théorie du chaos ont permis aux physiciens d’entrer dans de nouveaux domaines jusqu’à là inaccessibles (ne me demandez pas lesquels, je cite juste des propos entendus ou lus lors d’un interview d’un grand nom de la physique).
En matière financière, les modèles probabilistes de Nicole El Karoui ont été appliqués par des gens qui ont oublié qu’il ne s’agissait que de modèles.
A ce sujet, ce qui est troublant, c’est comme les enseignants de ces modèles semblent sûrs de leur fait. Lisez ce qui est dit en page d’accueil de l’enseignement de master 2 « Probabilités et finance » sur le site de l’université P6 (http://www.master-finance.proba.jussieu.fr/index2.php) :
En gros, venez chez nous, vous serez les rois du monde !
@ Rumbo
Dans mon article La linguistique d’Aristote (1996) :
@Rumbo
Vous écrivez:
Il doit sans doute exister des “êtres” ou des termes mathématiques que recouvrent ces phrases
Justement pas. Et le dernier passage de Jorion est très clair car il ramène les mots/phrases à des termes/proposition de logique pour donner solution. Les mots/phrases sont TRADUITS en termes/propositions logiques pour pouvoir utiliser les operateurs logiques. Voyez-vous la mécanique ?
Jean-François exprime bien la difficulté de traduire d’une discipline vers l’autre, la preuve en est que chaque métier a son jargon qui peut être long à apprendre. Il parle de contrôle posant la question de l’utilisation de la connaisance comme pouvoir, et celà est du domaine de la politique plus de la science. Le politique peut utiliser la science comme outil. La connaissance devenant un outil-de-pouvoir dans sa boite à outils. Et c’est la preuve que les modèles en eux-même ne sont pas dangereux, c’est la politique et/ou l’abscence de morale qui les rends dangereux quand on s’en sert comme moyen pour atteindre des objectifs.
JF écrit: contrôles qui amènent eux des changements appliqués au monde Réel-objectif.
Vous prouvez que le Réel-objectif n’est pas immuable puisqu’on peut le changer …. Preuve que ce réel est celui inventé et ré-inventé incessament par les humains.
Quant aux enseignants surs de leur fait, ils font de la politique (utilisant des moyens pour atteindre des fins, ce qui est la définition du faire) pour appater des étudiants et remplir leurs formations en vendant des lendemains qui chantent comme tous les politiques. Le pouvoir devient toujours plus énorme au fil des promotions (notez le terme) qui sortent de ces formations. On dira que c’est de bonne guerre. Mais la guerre fait des victimes, on sait lesquelles.
On voit ici comment une population (ces profs) utilise des modèles mathématiques pour prouver des objets financiers de manière soit stupide par incompétence soit intelligente par manque de morale. Incompétence ou manipulation ?
Qui plus est vous pointez di doigt une population bien loin des acteurs financiers. Mais il est vrai que les masters sont noyautés par les professionnels, qui sont donc juges et parties de ce qu’ils enseignent. Une non-éducation en somme.
Jorion cite:
Il s’agit pour Einstein d’une heureuse coïncidence que son ami de longue date, le mathématicien pur Marcel Grossmann, eut l’opportunité de le familiariser à ces outils mathématiques. S’ils n’avaient pas été disponibles, Einstein n’aurait pas pu formuler la relativité généralisée » (Barrow [1990] 1992 : 189).
C’est un peu vite dit. Certes les outils mathématiques font partis du dispositif de base du physicien, mais ils sont ceux de la communauté des physiciens. Einstein eu-t-il été un philosophe il aurait peut-etre formulé sa théorie avec d’autres outils, comme la logique, ou les outils purement philosophique.
Si l’on en croit les idées de Hertz ou Poincaré, la relativité génerale eut pu prendre une tournure mathématique autre que la forme tensorielle, cependant cette derniere hérite de la relativité restreinte un nécessaire renoncement à l’espace l’espace Euclidien au profit des espaces courbes de Riemann, ce renoncement géneralisateur prend naissance dans le principe d’équivalence qui en est la fondation conceptuelle et démontre que dans un champ de gravitation un rayon de lumiére se courbe.
Puisque nous sommes dans les maths et les paradoxes, rappelons « le paradoxe de la liquidité » dans « le pouvoir de la finance » d’andré Orléan, Odile Jacob 1999. Il y est aussi question de « mimétisme cognitif »… (il est possible = faux ou vrai que) Giacomo Rizzolati est un menteur quand il décrit les neurones miroirs.
Ah! tout cela est bien trop compliqué! Il faudra donc que je m’y attelle…